线性代数复习 第一章 行列式

第一章 行列式

1.1 行列式的概念

排序和逆序数

由 $n$ 个数 $1,2...,n$ 组成的一个无重复的有序数组 $i_1i_2\cdots i_n$ 称为一个 $n$ 级排列。而 $n$ 级排列共有 $n!$ 个，因为这是个全排列的问题。

逆序数 指的是在一个 $n$ 级排列中，较大数排在较小数之前这种组合（称为逆序）的总个数，用 $\tau(i_1i_2\cdots i_n)$ 表示。如 $\tau(53241)=4+2+1+1=8$，为偶排列。

一般来说，我们定义逆序数的概念，只想知道其奇偶性，对于数值具体多少并不关心。如果交换任意的两数的位置，则称为一次 对换 操作，且排列的奇偶性被改变。

n阶行列式定义

由 $n^2$ 个元素组成的 $n$ 行 $n$ 列组成的式子称为 $n$ 阶行列式，展开以后一共有 $n!$ 项，如下：

$$\begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \end{vmatrix} = \sum_{j_1 \cdots j_n}(-1)^{\tau(j_1 \cdots j_n)} a_{1j_1} \cdots a_{nj_n}$$

相当于说每行选一个矩阵项出来，但是列数不能重复，莫非简化版是 $n$ 皇后问题？对于选出来的项 $a_{ij}$ 的符号问题，如 a12a31a54a43a<