数论概论读书笔记 34.丢番图逼近与佩尔方程

丢番图逼近与佩尔方程

求解$Pell$方程，我们的想法是取两个使$x^2-Dy^2$具有相同数值的数对并“将它们相除”

举个例子，取$D=13$，如果我们知道数对$(x_1,y_1)=(11,3)$和$(x_2,y_2)=(14159,3927)$都是方程$x^2-13y^2=4$的解。计算

$$\frac{14159-3927\sqrt{13}}{11-3\sqrt{13}}=\frac{2596-720\sqrt{13}}{4}=649-180\sqrt{13}$$
则$pell$方程$x^2-13y^2=1$有一个整数解$(x,y)=（649,180）$

为什么由数对$(11,3)$和$(14159,3927)$能成功得到整数解呢？

因为$11\equiv 14159\ (mod \ 4)$，$3\equiv 3927\ (mod \ 4)$

Pell方程定理 设$D$是一个正整数，且不是完全平方数，则佩尔方程

$$x^2-Dy^2=1$$
总有正整数解。如果$(x_1,y_1)$是使$x_1$最小的解，则每个解$(x_k,y_k)$可通过取幂得到：

$$x_k+y_k\sqrt{D}=(x_1+y_1\sqrt{D})^k ,\quad k=1,2,3,...$$
证明 具体见书。第一个目标是证明$pell$方程至少有一个解。第二个目标是证明每个解可以通过对$x_1+y_1\sqrt{D}$取幂得到。

课后习题

如果$(x_0,y_0)$是方程$x^2-Dy^2=M$的一个解，而$(x_1,y_1)$是佩尔方程$x^2-Dy^2=1$的一个解，证明$(x_0x_1+Dy_0y_1,x_0y_1+y_0x_1)$也是方程$x^2-Dy^2=M$的一个解。