下面介绍一种，计算电磁场产生的引力的方法，
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声明：此算法只是一套理论，仅供学术研究，不可用于实验，因为自然规律变化多端很难总结，很难用数学公式描述。
第一部分
电磁场会产生引力吗？
解法一：
会，电磁场的能动量张量为：
μν 1 μσ ν 1 μν αβ
T = (F F - η F F )
4π 4π αβ
代入到爱因斯坦场方程中
1
G =R - g R=8πT
μν μν 2 μν μν
把第一个式子代入方程的右边，联立求解就可以解出度规的形式。这种解叫做莱斯纳斯特朗解。求解过程中有些地方需要注意，
αβ
因为这里出现了F 这个矢量，而这个矢量的定义必须依赖于度规指标，但是在求解之前我们并不知道度规的形式，所以这个方程不能右边代入求左边，而是需要联立求解的，即左右都可以表示成度规的形式。然后解出这个度规。在解出度规的同时也就算出了电磁场的能动张量的具体表达式、莱斯纳-诺斯特朗解用来描述带有电荷的星体外部的解。因为具有球对称性，它的求解并不是很困难，和施瓦西解难度差不多。其解的形式如下：
2 2
2 2M Q 2 2M Q -1 2 2 2
ds =-(1- + )dt +(1- + ) dr +r dΩ
r 2 r 2
r r
M是质量，Q是带电电荷，t是时间，s是引力的度规，r是电荷的半径，至于Q的定义，可以依据高斯定理，以上内容都比较粗略，如果想真正理解的话每本教材应该都会讲。我们比较推荐sean carroll的书。综上，所以电磁场会产生时空几何的变化。
高斯定理（Gausslaw)也称为高斯通量理论（Gauss flux theorem),或称作散度定理、高斯散度定理、高斯-奥维特罗格拉斯基公式、奥氏定理或高-奥公式。在静电学中，高斯定理表明在闭合曲面内的电荷之和与产生的电场在该闭合曲面上的电通量积分之间的关系。高斯定理在静电场情况下类比于应用在磁场学的安培定律，而两者都被集中在麦克斯韦方程组中。因为数学上的相似性，高斯定律也可以应用于其他由平方反比律决定的物理量，例如引力或者辐照度。
定理内容：
设空间内有界闭合区域Ω，其边界ӘΩ为分片光滑闭曲面。函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)及其一阶偏导数在Ω上连续，那么
ӘP ӘQ ӘE
∫ ∫ ∫ （ + + )dV= ∫∫ Pdydz+Q
Ω Ә x Әy Әz ӘΩ
或记作
ӘP ӘQ ӘE
∫ ∫ ∫ （ + + )dV= ∫∫ (Pcosα+cosβ+cosγ)
Ω Әx Әy Әz ӘΩ
其中ӘΩ的正侧为外侧，cosα,cosβ,cosγ为ӘΩ的外法向量的方向余弦。即矢量穿过任意闭合曲面的通量等于矢量的散度对闭合面所包围的体积的积分。它给出了闭曲面积分和相应体积分的积分变换关系，是矢量分析中的重要恒等式，也是研究场的重要公式之一。
解法二：
下面的内容可参见《广义相对论与引力波》，[美]J.韦伯著，陈凤至，张大卫译，科学出版社1977年出版。
根据上面得到的场方程(4.38)得
1 8πG
R - g R= T (4.38)
μν 2 μν 4 μν
c
上式中R为曲率张量，T为应力能量张量，g是度规张量,α,β,γ,分别代表不同的坐标系，μ,为矢量空间第μ个分量，ν为矢量空间第ν个分量。因为
μν
R=g R
μν
所以
1 μν 8πG
R - g g R= T
μν 2 μν 4 μν
c
1 μν 8πG
R (1- g g )= T
μν 2 μν 4 μν
c
;ν
A
μ;ν 4π 1 μν 8πG
( - j )(1- g g )= T
α α μ 2 μν 4 μν
A cA c
上式中j为四维电流密度，A为引力场的四维势，c为光速，G为引力常数。
-8 3 -1 -2
G=6.67*10 厘米 *克 *秒
根据（4.17）式, 设未知定律取如下形式：
B =T (4.17)
μν μν
上式中B表示电流形成的磁场强度，
A
μ;ν 4π 1 μν 8πG
( - j )(1- g g )= B
α α μ 2 μν 4 μν
A cA c
这样就得到一个通过电流形成的磁场强度求解引力势能的方程式
第二部分 电磁场产生引力波的方法
下面的资料可参见，哔哩哔哩网站上的视频《比黑洞更神秘的“白洞”是什么？宇宙源于一次白洞爆发？》
视频网址：
https://www.bilibili.com/bangumi/play/ep691598?spm_id_from=333.880.my_history.page.click
爱因斯坦引力方程是：
8πG
G +Λg = T
μν μν 4 μν
c
德国天文学家史瓦西发现上面方程的特殊解为
r
s
-(1- ) 0 0 0
r
r
s
g =( 0 -(1- ) 0 0 )
μν r
2
0 0 r 0
2 2
0 0 0 r sin θ
1916年史瓦西从广义相对论方程里算出来的一个解
r r
2 2 s 2 2 s -1 2 2
g=-c dr =-(1- )c dt +(1- ) dr +r gΩ
r r
俄罗斯的伊戈尔又发现史瓦西解里面的时间t是有平方的
r r
2 2 s 2 2 s -1 2 2
g=-c dr =-(1- )c dt +(1- ) dr +r gΩ
r r
根据初中数学知识可知t能取正负两个值,正的t就是黑洞，负的t是什么呢？那就是白洞。
所以，从史瓦西黑洞解的数学模型上理解，存在一个时间正向，但空间完全相反的黑洞.
一个倒放的黑洞，在这个基础上作对比，黑洞吞噬任何进入事件视界内的物质，连光都跑不出去。白洞从自己的事件视界内喷射物质，而任何物质包括光都无法进入白洞。如果一个黑洞是永恒存在的，也就是说t可以取任何值，那么一个黑洞就一定对应一个永恒存在的白洞。这两个家伙之间通过一个爱因斯坦罗森桥，也就是虫洞连接。霍金进一步认为，每个超大质量黑洞都有个超大质量白洞与之对应。黑洞吞噬的物质从对应的白洞喷射出来，只有这样看起来才是一个完美对称的数学模型。
下面的资料可参见，哔哩哔哩网站上的视频《度规、测底线和相对论》
视频网址
https://www.bilibili.com/video/BV1nS4y1S7zi/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=e1400614bf949d969f878342e9b5c932
从史瓦西解求出的史瓦西度规，如下所示
R 2
2 2 2 s dr 2 2
ds =c dt (1- )- -r dΩ
r R
s
(1-` )
r
例如克尔度规，它描述了飞快旋转的且具有中心环形奇点的黑洞。
2 2
2 2Mr 2 4aMrsin θ ρ 2 2 2 2 2
ds =-(1- )dt - dtdφ+ dr +ρ dθ (r +a +
2 2 △
ρ ρ
2a Mrsin θ
)sin θdφ
2
ρ
或FLRE度规，即弗里德曼-勒梅特-罗伯逊-沃尔克度规
它描述了大尺度上的时空近似，通过揭示宇宙的曲率和膨胀，它成为了大爆炸理论的起源。
2
2 2 2 2 dr 2 2
ds =c dt -R(t) ( +r dΩ )
2
1-kr
电磁场产生引力波的方法
方法一
7.8严密的柱面波解
爱因斯坦和罗森（Rosen)[4.5]曾求得广义相对论方程的某些严密的柱面波解。他们的度规为
注释[4]:A.Einstein and N. Rosen,J .Franklin Inst. 223, 43 (1937)
注释[5]:N.Rosen, Physik Z. Sowjetunion 12,366(1937)
2 2γ-2ψ 2 2 2 2 -2ψ 2 2ψ 2
-ds =c (dρ -c dt )+ρ c dφ +c dz
函数γ和ψ仅依赖于ρ和t。由式（7.59）给出的度规可应用于自由空间方程
R =0 (7.60）
μν
由此得ψ和γ所应满足的（精确）方程为
1
ψ + ψ -c ψ =0, (7.61）
,ρ,ρ ρ ,ρ t,t
2 2 2
γ =ρ[(ψ ) +(1/c )(ψ ) ], (7.62）
,ρ ,ρ ,t
γ =2ρψ ψ /c (7.63）
,t ,ρ ,t
线性方程（7.61）是柱面坐标的波动方程。式（7.61）的表示出射波的解为
ψ =A[J (ωρ/c)cosωt+N (ωρ/c)sin ωt] (7.64）
0
从史瓦西解求出的史瓦西度规，如下所示
R 2
2 2 2 s dr 2 2
ds =c dt (1- )- -r dΩ
r R
s
(1-` )
r
Ω是电场强度，t是时间，s是引力的度规，r是电场的半径，
因为上面两式描述的都是引力的度规表示，所以，将上式代入式（7.59）
2γ-2ψ 2 2 2 2 -2ψ 2 2ψ 2
c (dρ -c dt )+ρ c dφ +c dz
R 2
2 2 2 s dr 2 2
-c dt (1 - )- +r dΩ
r R
s
(1-` )
r
化简得
-2ψ 2γ 2 2 2 2 2 2 2
c [c (dρ -c dt )+ρ dφ +c dz ]
R 2
2 2 2 s dr 2 2
-c dt (1 - )- +r dΩ
r R
s
(1-` )
r
R 2
2 2 2 s dr 2 2
-c dt (1 - )- +r dΩ
r R
s
(1-` )
-2ψ r
e =
-2ψ 2γ 2 2 2 2 2 2 2
c [c (dρ -c dt )+ρ dφ +c dz ]
所以这就得到一个通过电荷强度表示引力波ψ的式子，给电荷输入不同的数值就会产生不同的引力波。
方法二
许多作者考虑过平面引力波，陶布（Taub)[6]和麦克维蒂(McVittie)[11]曾证明，不存在无偏振的平面波。
注释[6]:A.H. Taub, Ann. Math. 53, 472 (1951)
注释[11]:G,C, MeVittie, J. Rational Mech. and Analysis 4,201(1955)
罗宾逊和稍后邦迪曾证明[13.14]，场方程允许有介于两平坦空-时区域之间的宽度有限的}平面}波区。
注释[13]:H.Bondi, F. A. E. Pirani, and I. Rpbinson, Proc. Roy, Soc, (London) A251, 519(1959)
注释[14]:H. Bondi, Nature 179,1072 (1957)
他们系由罗森首先给出的度规出发：
2 2Ω 2 2 2 2β 2 -2β 2
ds =e (dτ -dξ )-u {e dη +e dζ } (7.86)
2
其中u=r-ξ,β和Ω仅为u的函数：2Ω =u(β )
u ,u
这个度规满足真空场方程R =0,一般说来，它所表示的是弯曲空间，但若关系式
μν
从史瓦西解求出的史瓦西度规，如下所示
R 2
2 2 2 s dr 2 2
ds =c dt (1- )- -r dΩ
r R
s
(1-` )
r
Ω是电场强度，t是时间，s是引力的度规，r是电场的半径，因为上面两式描述的都是引力的度规表示，所以，将上式代入式（7.86）
2Ω 2 2 2 2β 2 -2β 2
e (dτ -dξ )-u {e dη +e dζ }
R 2
2 2 s dr 2 2
=c dt (1- )- -r dΩ
r R
s
(1-` )
r
化简得
2 2β 2 -2β 2
u {e dη +e dζ }
R 2
2Ω 2 2 2 2 s dr 2 2
=-e (dτ -dξ ) -c dt (1- )+ +r dΩ
r R
s
1-
r
R 2
2Ω 2 2 2 2 s dr 2 2
-e (dτ -dξ ) -c dt (1- )+ +r dΩ
r R
s
1-
r
u=
2 2β 2 -2β 2
e dη +e dζ
所以这就得到一个通过电场强度表示引力波u的式子，给电场输入不同的数值就会产生不同的引力波。
方法三：
下面的内容可参见《广义相对论与引力波》，[美]J.韦伯著，陈凤至，张大卫译，科学出版社1977年出版。
现在R 仅由式（7.6）的第一项组成，从而场方程可写为
μν
1 σλ 1 σλ 8πG
-
δ h +g [ δ h ]= T (7.9)2 μν,σλ μν 4 ,σλ 4 μν
c
运用式（7.9）时需加小心，因为右端的各个分量通常并不属于同一级近似。现在我们定义
ν ν 1 V
φ =h - δ h , (7.10)
μ μ 2 μ
于是坐标条件（7.8）可写为
ν
φ =0 (7.11)
μ,ν
升高式（7.9）中的指标ν,并应用式（7.10），得
ν 16πG ν
□φ =- T (7.12)
μ 4 μ
C
2
上式中,□表示达朗贝尔算符，▽ 表示拉普拉斯算子.c表示光速。
2
1 Ә
□=▽ -
2 2
c Әt
2
1 Әφ
□φ=▽ -
2 2
c Әt
因为
2 2 2
2 Ә φ Ә φ Ә φ
▽ φ= + +
2 2 2
Әx Әy Әz
所以
2 2 2 2
Ә φ Ә φ Ә φ 1 Ә φ
□φ= + + -
2 2 2 2 2
Әx Әy Әz c Әt
所以可设
φ=asin(ωx+b)+csin(θy+d)+esin(τz+f)
即，假设□φ是一个正弦函数,所以,
2 2 2 2
Ә φ Ә φ Ә φ 1 Ә φ 16πG ν
+ + - =- T
2 2 2 2 2 4 μ
Әx Әy Әz c Әt c
这样就得到一个引力波的描述方程式。根据上面的推导，得
A
μ;ν 4π 1 μν 8πG
( - j )(1- g g )= T
α α μ 2 μν 4 μν
A cA c
所以
A 2
μ;ν 4π 1 μν 1 Ә φ
( - j )(1- g g )=2( -
α α μ 2 μν 2 2
A cA c Әt
2 2 2
Ә φ Ә φ Ә φ
- - - )
2 2 2
Әx Әy Әz
A 2
μ;ν 4π 1 μν 1 Ә φ
( - j )(1- g g )= -
α α μ 2 μν 2 2
A cA c Әt
2 2 2
Ә φ Ә φ Ә φ
- - - )
2 2 2
Әx Әy Әz
φ=asin(ωx+b)+csin(θy+d)+esin(τz+f)
φ表示引力波，A表示电流形成的引力的四维势，j表示四维电流密度, 这样就得到一个通过电流形成的磁场强度求解引力波方程式。
方法四
7.8严密的柱面波解
爱因斯坦和罗森（Rosen)[4.5]曾求得广义相对论方程的某些严密的柱面波解。他们的度规为
注释[4]:A.Einstein and N. Rosen,J .Franklin Inst. 223, 43 (1937)
注释[5]:N.Rosen, Physik Z. Sowjetunion 12,366(1937)
2 2γ-2ψ 2 2 2 2 -2ψ 2 2ψ 2
-ds =c (dρ -c dt )+ρ c dφ +c dz (7.59）
函数γ和ψ仅依赖于ρ和t。由式（7.59）给出的度规可应用于自由空间方程
R =0 (7.60）
μν
由此得ψ和γ所应满足的（精确）方程为
1
ψ + ψ -c ψ =0, (7.61）
,ρ,ρ ρ , ρ ,t,t
2 2 2
γ =ρ[(ψ ) +(1/c )(ψ ) ], (7.62）
, ρ , ρ , t
γ =2ρψ ψ /c (7.63）
, t , ρ , t
线性方程（7.61）是柱面坐标的波动方程。式（7.61）的表示出射波的解为
ψ =A[J (ωρ/c)cosωt+N (ωρ/c)sin ωt] (7.64）
0 0
因为, 莱斯纳-诺斯特朗解用来描述带有电荷的星体外部的解。因为具有球对称性，它的求解并不是很困难，和施瓦西解难度差不多。其解的形式如下：
2 2
2 2M Q 2 2M Q -1 2 2 2
ds =-(1- + )dt +(1- + ) dr +r dΩ
r 2 r 2
r r
M是质量，Q是带电电荷，t是时间，s是引力的度规，r是电荷的半径，至于Q的定义，可以依据高斯定理，以上内容都比较粗略，如果想真正理解的话每本教材应该都会讲。因为上面两式描述的都是引力的度规表示，所以，将上式代入式（7.59）
2γ-2ψ 2 2 2 2 -2ψ 2 2ψ 2
c (dρ -c dt )+ρ c dφ +c dz
2 2
2M Q 2 2M Q -1 2 2 2
=-(1- + )dt +(1- + ) dr +r dΩ
r 2 r 2
r r
化简得,
-2ψ 2γ 2 2 2 2 2 4ψ 2
c [c (dρ -c dt )+ρ dφ +c dz ]
2 2
2M Q 2 2M Q -1 2 2 2
=-(1- + )dt +(1- + ) dr +r dΩ
r 2 r 2
r r
2 2
2M Q 2 2M Q -1 2 2 2
-(1- + )dt +(1- + ) dr +r dΩ
r 2 r 2
-2ψ r r
c =
2γ 2 2 2 2 2 4ψ 2
c (dρ -c dt )+ρ dφ +c dz
所以这就得到一个通过电荷强度表示引力波ψ的式子，给电荷输入不同的数值就会产生不同的引力波。
方法五：
许多作者考虑过平面引力波，陶布（Taub)[6]和麦克维蒂(McVittie)[11]曾证明，不存在无偏振的平面波。
注释[6]:A.H. Taub, Ann. Math. 53, 472 (1951)
注释[11]:G,C, MeVittie, J. Rational Mech. and Analysis 4,201(1955)
罗宾逊和稍后邦迪曾证明[13.14]，场方程允许有介于两平坦空-时区域之间的宽度有限的}平面}波区。
注释[13]:H.Bondi, F. A. E. Pirani, and I. Rpbinson, Proc. Roy, Soc, (London) A251, 519(1959)
注释[14]:H. Bondi, Nature 179,1072 (1957)
他们系由罗森首先给出的度规出发：
2 2Ω 2 2 2 2β 2 -2β 2
ds =e (dτ -dξ )-u {e dη +e dζ } (7.86)
2
其中u=r-ξ,β和Ω仅为u的函数：2Ω =u(β )
,u ,u
这个度规满足真空场方程R =0,一般说来，它所表示的是弯曲空间，但若关系式
μν
因为, 莱斯纳-诺斯特朗解用来描述带有电荷的星体外部的解。因为具有球对称性，它的求解并不是很困难，和施瓦西解难度差不多。其解的形式如下：
2 2
2 2M Q 2 2M Q -1 2 2 2
ds =-(1- + )dt +(1- + ) dr +r dΩ
r 2 r 2
r r
M是质量，Q是带电电荷，t是时间，s是引力的度规，r是电荷的半径，至于Q的定义，可以依据高斯定理，以上内容都比较粗略，如果想真正理解的话每本教材应该都会讲。因为上面两式描述的都是引力的度规表示，所以，将上式代入式（7.86）
2Ω 2 2 2 2β 2 -2β 2
e (dτ -dξ )-u {e dη +e dζ }
2 2
2M Q 2 2M Q -1 2 2 2
=-(1- + )dt +(1- + ) dr +r dΩ
r 2 r 2
r r
化简得
2 2β 2 - 2β 2
u {e dη +e dζ }
2Ω 2 2 2M Q 2 2M Q -1 2 2 2
=-e (dτ -dξ )+(1- + )dt -(1- + ) dr -r dΩ
r 2 r 2
r r
2Ω 2 2 2M Q 2 2M Q -1 2 2 2
-e (dτ -dξ )+(1- + )dt -(1- + ) dr -r dΩ
r 2 r 2
r r
u=
2β 2 - 2β 2
{e dη +e dζ }
所以这就得到一个通过电荷强度表示引力波u的式子，给电荷输入不同的数值就会产生不同的引力波。
第三部分
下面的内容可参见《广义相对论与引力波》，[美]J.韦伯著，陈凤至，张大卫译，科学出版社1977年出版。
第四章 广义相对论和电磁学的场方程
同其他力特别是电磁力相比较，引力占有一个独特的地位，因为表征引力场的十个函数还同时确定了被测空间的度规性质。-A.爱因斯坦
4.1引力场方程
在第二章中，我们讨论了旋转参照系，由于加速度的存在而需要采用黎曼度规。一个非均匀的引力场，在每一个小区域内，同一个适当的加速度是等效的。因此还可望用黎曼度规来描述林立场，线元的平方由下式给出：
2 μ ν
-ds =g dx dx （4.1）
μν
我们把度规张量g 与引力场等同起来。这个从等效原理推出的等同性，
μν
或许是广义相对论的最重要的新特征。
现在的任务是列出将g 同物质的能量分布联系起来的微分方程。
μν
我们的出发点是牛顿的引力定律，它用如下引力势φ的泊松（Poisson)方程描述：
2
▽ φ=4πGρ (4.2)
M
这里G为引力常数，ρ 为单位体积的质量。
M
至少可将式（4.2）的左端修改成洛伦兹不变式，即将其写为
□φ=4πGρ (4.3)
M
注释：洛伦兹不变性是指普遍的物理学方程在洛伦兹变换下保持不变。物理学中，洛伦兹协变性或洛伦兹共变形（Lorentz covariance)是时空的一个关键性质，出自狭义相对论，适合于全域性的场合。注释结束。
式(4.3)类似于电动力学中的四维势的方程组。因总电荷不变，故电荷密度是四维矢量的一个分量，但质量并非不变量，因而（式4.3）的右端不是四维矢量的分量，而是在狭义相对论中已熟知的二秩应力-能量张量的分量。这个二秩张量特性导致了比电动力学更为复杂的理论。此外，与引力场相联系的零静质量的粒子——引力子的自旋为2，也是“引力势”
g 的二秩张量特性所引起的结果。
μν
我们来回忆守恒定律，对于非相对论性力学中的流体，质量守恒可表示为连续性方程
i Ә (ρ )
Ә (ρv ) M
+c =0 (4.4)
i 0
Әx Әy
i
这里v 是速度，对i的求和包括三个空间左边。
1 2 3
可将式（4.4）乘以dx dx dx 并对给定的体积求积分。前三项容易化为包围该体积的封闭曲线的积分。其结果可陈述为：积分域内的总质量的时间导数等于通过该曲面的质量流。式（4.4）的狭义相对论推广为
ν
ӘT
μ
=0 (4.5)
ν
Әx
α
这里T 是应力-能量张量。在本书的其余章节，通常用“，α”来表示运算Ә/ Әx .
μ
这样，式（4.5）便成为
ν
T =0
μ,ν
在狭义相对论的场论中，有一种由拉格朗日（Lagrange)密度L获致T 的方法，
μ,ν
α α
其中L被假定为场变量q 及其一阶导数q 的函数。
,β
作用量函数是L/c的四维体积分，而稳定作用量原理而言：当场变量的变分在边界上为零时，有
4
δ∫Ld x=0 (4.6)
α α
这里符号δ取通常的意义，并假定场变量q 和q 是某参数的函数。
,β
μ
若参数为k，则δ为dk(Ә/Әk),并且，在求微分Ә/ Әk时假定x 为常数。因此，对坐标微分和对k微分的次序是可交换的。式（4.6)可表示为
i 4 Ә L α Ә L α 4
0=δ Ld x=∫( δq + δq )d x
α α ,γ
Әq Әq
,γ
Ә L Ә L Ә L α 4 Ә Ә L α 4
=∫( - )δq d x+∫ ( δq )d x (4.7)
α γ α β α
Әq Әx Әq Әx Әq
,γ ,β
α
式（4.7）右端的最后一项又可以写成面积分的形式，因假定δq 在积分域的边界上为零，
故此面积分也为零。由于式（4.7）对于任意的变分均成立，于是推出场方程为
Ә L Ә L Ә L
- - =0 (4.8)
γ α α
Әq Әx Әq
,γ
α
将式（4.8）乘以q ，并注意到
,β
α
α Ә q
Ә L Ә L Ә q Ә L ,ρ
= + -
β α β α β
Әx Әq Әx Әq Әx
,γ ,ρ
以及,
α α
q =q ,
,γ,β ,β,γ
则结果经整理后为
γ α Ә L
[δ L-q ] =0 (4.9)
β , β α ,γ
Әq
,γ
由式（4.9）和（4.5）得出
γ γ α Ә L
T =δ L-q (4.10)
β β ,β α
Әq
,γ
0 α
我们从经典力学知道-T 即能量密度，因为q 是同速度相对应的。
0 ,0
对式（4.9）和（4.10）的研究表明，定义（4.10）不能唯一的确定T ,
γ
β
γα γ γα
可以将任意的量Φ 加到T 上，只要Φ 关于γ和α是反对称的。
β ,α β β ,α
习惯上这样来选取函数Φ，以使得出的张量T (二指标均已升高或降低）是对称的[1,2]。
βγ
注释[1]:F.Belinfante, Physica 6,887(1939)
注释[2]:L. Rosenfeld, Mem. acad, roy. Belgigue 28, 6(1940).
这样做的理由是希望由
M =T x -T x (4.11)
αβγ αβ γ αγ β
定义的角动量密度满足守恒定律
,α
M =0 (4.12)
αβγ
完成式（4.12）左端指明的微分，即知式（4.12）确实为对称的T 所满足。
αβ
对于流体，T 是借助四维速度U 来给定的，即
μν ν
T =(p+E)U U +δ p (4.13)
μν μ ν μν
这里p是压力，E是在各点的局部物质静止系中算得的总（质量）能量密度。方程（4.13）
i
是三维应力1）张量T 的四维推广，由T 确定的作用在面元ds 上的力dF 为
ij ij i
注释1）：在历史上，应力-能量张量就是这样起源的，在弹性理论中，由于作用在诸体积元
上的转矩达到平衡，故T 是对称的。注释结束。
ij
j
dF =T ds (4.14)
i ij
式(4.4)只给出了质量的守恒，而式（4.5）则即包括总能量的守恒又包括动量的守恒。
动量与能量由P 的空间分量和时间分量确定：
α
0 1 2 3
P =∫T dx dx dx ,
i i
0 1 2 3
P =∫T dx dx dx ,
0 0
在洛伦兹变换下，P 的变换有如一个四维矢量。
α
在电动力学中2）中，应力-能量张量是用电磁场张量F 给出的：
μα
注释2）：我们采用C,G,S,绝对单位制。注释结束。
ν 1 να 1 αβ ν
T = (F F - F F δ ) (4.15)
μ 4π μα 4π αβ μ
利用本章稍后部分给出的麦克斯韦（Msxwell)场的拉格朗日密度，上式可由式（4.10）推得，附加一项
1 να
- (A F )
4π μ ,α
是为了使T 成为对称的。这些表达式是根据适合于洛伦兹系的论证获得的。
μν
但由于式（4.13）和（4.15）是张量方程，故它们对于任意的坐标系均有效。由式（4.10）得出的任何结果，或者已呈张量形式，或者可容易的修改成按张量方式变换的形式（譬如，将通常的导数改变成协变导数）。T 的明显协变表达式将于本章后文给出。
μν
现在我们回到式（4.3）上来，并注意式（4.3）的右端恒等于T 的零-零分量。
μν
这暗示我们，引力场方程可表达为这样的等式：一个二秩张量组合等于其他场的应力-能量张量。张量场方程的左端在某种近似程度内应当化为达朗贝尔（D`Alembert)算符。若要求方程左端的张量是由g 构成的，且不包含g 的高于二阶的导数，则待定张量的可能数
μν μν
目还可以减少。对于弱场，这个张量应化为达朗贝尔量。为了保证这一性质，又为了简便的获得量纲的一致性，
有理由要求这些方程至少对于g 的二阶导数是线性的。
μν
因此，我们假定某给定张量不包含g 的高于二阶的导数，
μν
并且对于g 的二阶导数是线性的，引起短程线坐标系，以使克里斯托菲符号化为零。
μν
由式（3.48）可知，g 的二阶导数在这些坐标系中总可以写为曲率张量的线性函数。
μν
如果需要一个二秩张量，那么它的最一般的形式应为
C R +C g R+C g =B (4.16)
1 μν 2 μν 3 μν
C ,C 及C 是常数。式（4.16）的前两项是曲率张量分量的线性组合。
1 2 3
由于式（4.16）为张量方程，故它在任意坐标系中均成立。
广义协变性、二秩张量、与g 的二阶导数成线性关系，以及无更高阶的导数存在等要求，
μν
给出了形如式（4.16）的表达式。马赫[3]与希尔伯特(Hilbert)[4]的论证对解决这个问题是有用的。
注释[3]:E. Mach, Die Geschichte and die Wurzel des Satzes von de Erhaltang der Arbeit, Pragne, 1877, and Mechanik, Leipzig. 1883
注释[4]😄.Hillbert, Grunndlagen der Physik, I, Nachr Ges. Wiss Gottingen 1915,395
设未知定律取如下形式：
B =T (4.17)
μν μν
即二对称张量之间的关系式。假定已求得一个解，
它把g 确定为坐标的函数。现在就可以引进四个函数
μν
μ μ
x` =F (x) (4.18)
来进行坐标变换。对这些函数可以这样的选择，
使得在某初始时刻或在某类空曲面1）上处处有g =g` ,
μν μν
并且g 的一阶导数与g` 的一阶导数也处处相等。
μν μν
0 0 1 1 0 3 2 2 3 3
注释1）；例如，考虑变换x =x ,x =x +a(x ) ,x =x ,x =x ,
0 μν μν μν 0
则在x =0时g` =g 处处成立，g 的所有一阶空间导数和时间导数在x =0时也相同的。注释结束
由于式（4.17）的协变性，变换后的场方程与原场方程具有完全相同的形式。
又因这些方程不含有高于二阶的导数，故g 和g` 处处相等，但这种情况同式
μν μν
β α
Әx Әx
g` = g (4.19)
μν ν μ αβ
Әx Әx
是矛盾的。
因此，希尔伯特得出结论：像式（4.17）这样的四维协变表达式，不应当是十个独立的方程，而应当满足四个恒等式，因而这组表达式仅含有六个独立的方程。在这种情形下，解将包含四个任意的函数；仅当坐标系以某种非协变的方式被挑选出时，这些函数才成为唯一确定的。寻求为式（4.17）所满足的四个恒等式的线索，得自于下述事实，即对于洛伦兹度规，构成式（4.17）右端的应力-能量张量满足守恒定律
μ
T =0 (4.20)
μν
对于广义协变理论而言，式（4.20）的逻辑推广为
μ
T =0 (4.21)
μν
曾经证明[方程（3.56）]，比安基恒等式给出
ν 1 ν
(R - δ R) =0 (4.22)
μ 2 μ ;ν
若将式（4.16）中的常数作适当选择，则这些恒等式是适用的。由这些论证推得，场方程必取如下形式：
ν 1 ν ν ν
R - δ R-λδ =KT (4.23)
μ 2 μ μ μ
这里λ和K是常数。经验事实[5]与逻辑简洁性都指出可令λ等于零。
注释[5]:A.Einstein, The Meaning of Relativity,Prineeton Univeraity Press,1950,3rd ed, p. 111.中译本：A.爱因斯坦，《相对论的意义》，科学出版社，1961.，第72页。
爱因斯坦的原始[7]表述还包括了下面的陈述：
注释[6]:A.Palatial,Eend. cire. mat. Palermo 43.203(1919)
粒子在引力场中的运动是用牛顿定律的协变推广来描述的，这一推广给出了短程线方程
2 α β γ
d x α dx dx
+Γ =0 (4.24)
2 βγ ds ds
ds
后来证明，运动方程实际上已经包含在场方程（4.23）中，并不需要另做假设。
2 i
按照式（4.24），作用在静止物体单位质量上的力由三个分量-c Γ 给出。
00
iα
在弱场近似下，g 非常接近于洛伦兹度规的值，因而对于不依赖于时间的度规，
i 2 i 1 2
F =-c Γ ≈ c ▽ g
00 2 i 00
2
同其他场相类比，把c g /2看做引力势是很自然的。对于弱场，
μν
式（4.23）应化为泊松方程1），即式（4.2）。
注释1）：对弱场的处理将在第七章中进行。
4
将式（4.23）的常数K选作8πG/c ，即可做到这一点，其中G为引力常数。
-8 3 -1 -2
G=6.67*10 厘米 *克 *秒
于是场方程变为
1 8πG
R - g R= T (4.25)
μν 2 μν 4 μν
c
4.2由变分原理推导场方程
注释：变分法是17世纪末发展起来的一门数学分支，是处理泛函的数学领域，和处理数的函数的普通微积分相对。
推导
对于泛函
x
2
S=∫ L(f(x),f`(x),x)dx
x
1
固定两个端点，在泛函S取到极值时的函数记作g(x), 定义与这个函数“靠近”的一个函数，h(x)=g(x)+σg(x), 其中σg(x)在从x1到x2上都是小量，同时满足，
δg(x )=δg(x )=0
1 2
这里σg(x)称为函数g(x)的变分。注释结束.
我们从作用函数I出发，这里I是
1 4
I=I +I = ∫(L +L ) -g d x (4.26)
G F c G F
其中I 为引力场作用量函数，I 为所有其他场的作用量函数，
G F
L 为引力场的拉格朗日密度，L 为所有其他场的拉格朗日密度。
G F
4
我们选取曲率标量R与量纲因子c /16πG的乘积作为L ，于是稳定作用量原理给出
G
3 4
(c /16πG)δ∫R -g d x+δI =0 (4.27)
F
对于引力场作用量函数的变分，我们有
3 μν 4 μν 4
δI =(c /16πG)[∫δR g R -g d x+∫R δ( -g g )d x], (4.28)
G μν μν
以及
α α α β α β
R =Γ -Γ +Γ Γ -Γ Γ
μν μν,α μν,ν μν αβ μβ να
并预先选取短程坐标系，则可以写出[6]
α α
δR =(δΓ ) -(δΓ ) (4.29)
μν μν ;α μν ;ν
这是一个张量方程，因而在所有的坐标系中均成立。需要用到-g的变分。式(3.72)给出
μν μν
δ(-g)=-gg δg =gg δg , (4.30)
μν μν
利用表达式（4.29）和（4.30）以及度规张量的协变导数为零，我们能将式（4.28)表示成如下形式：
3 μν α μα β 4
δI =(c /16πG)[∫[g δΓ -g δΓ ] -g d x+∫[R-
μν μβ
1 μν 4
g R]δg -g d x], =0 (4.31)
2 μν
现在证明式（4.31）中的第一个积分为零[6]。
下面的内容可参见《广义相对论与引力波》，[美]J.韦伯著，陈凤至，张大卫译，科学出版社1977年出版。接引力波页
我们有一平面波。呈波包形式的解为
2 2 -2
2 2 -2 [b -(z+τ) ]
F=xy(x +y ) e 对于|z+τ|<b; (7.141)
F=0, 对于|z+τ|>b;
我们现在来证明R =0的一切有物理意义的波动解均趋近于Ⅱ型。任何有物理意义的波动
μν
解，多半是物质的局部性分布所产生的，故在大距离（但并非宇宙学意义上的大距离）上为平面波。因此，我们在节7.2中所作的分析可用来描述这种波动解。应当强调，我们对局部平面波的定义已包含g =g =0,
μν,αi μν,αj
这里指标i和j是四维标架的正交于波的传播方向的两个方向。
表达式（7.27）的十个分量可以按式（7.124）的规则排列成正则形式，结果为
0 0 0 0 0 0
0 -g /2 g /2 0 -g /2 -g /2
33,11 23,11 23,10 33,10
0 -g /2 g /2 0 -g /2 -g /2
23,12 22,11 22,10 23,10
R =
AB 0 0 0 0 0 0 (7.142
0 -g /2 g /2 0 -g /2 -g /2
23,10 22,10 22,00 23,10
0 -g /2 g /2 0 -g /2 -g /2
33,10 22,10 23,00 33,00
适当选择参照四维标架的取向，可将g 和g 消去。对式（7.142）的研究表明，
23,10 23,00
R 属于Ⅱ型，其中α=β=0，因此，一切有物理意义的引力波在大距离上均趋向彼德洛夫
AB
Ⅱ型（零）， 其中α=β=0.由于式（7.142）精确成立，故我们已严格的证明了：在引力波为局部平面波[31]的一切点上，黎曼张量属于彼德洛夫Ⅱ型（零）。
注释[31]:J.Weber and D. Zipoy, Il Nuovo Cimento,18,191(1960)
罗宾逊和特劳特曼(Trautman),曾给出某些严密的表征波动的球对称解，这些解的黎曼张量在大距离上也趋向于彼德洛夫Ⅱ型（零）。它们的度规为
2 2 2 -2 2 2
ds =2dρdσ+(K-2Hρ-2m/ρ)dσ -ρ p {[dξ+q dσ] +[dη+q dσ] }
,η ,ξ
这里m仅为σ的函数，p和q为σ，ξ和η的函数，
-1 -1 -1
H=p p +p(p q) -pq(p )
,σ ,ξη ,ξη
K是曲面ρ=1，σ=常数上的高斯曲面（第三章）：
-1
K=p [(lnp) +(lnp) ]
,ξξ ,ηη
对于这个度规，R =0化为
μν
-2
q +q =0, K +K =4p (m -3Hm)
,ξξ ,ηη ,ξξ ,ηη ,σ
黎曼张量可写为
-3 -2 -1
R =ρ D +ρ Ⅲ +ρ N
μναβ μναβ μναβ μναβ
式中张量D,Ⅲ,N分别属于Ⅰ型（退化的），Ⅲ型及Ⅱ型（零）。在σ，ξ，η为常数的任何射线上，就协变意义而言，张量D,Ⅲ及N均为常数。如果m≠0,而k不依赖于ξ和η，则解属于退化的Ⅰ型，并可以化为m=1,P=coshμξ,q=0的情形。常数μ或为实数，或为纯虚数。若μ为实数且≠0，则得施瓦茨希德解。
2 2
若(K ) +(K ) ≠0而R =0，则解对应于非零Ⅱ型或Ⅲ型，
,ξ ,η
而后一种情形出现于m=0时。若m=0而K不依赖于ξ和η，则解属于零Ⅱ型或为平坦的，而平坦性的条件为
Ә Ә Ә Ә
( +i )[p( +i )H]=0
Әξ Әη Әξ Әη
我们能够构造关于σ为周期的解。对于速度<c的源，凡场异于零的波前上均至少有一个奇点。
注释[2]:A.S.Eddington,Proc.Roy.Sec,(London)A102,268(1923)
注释[3]:J. Weberm Gravity Research Foundation prize essays,New Boston, New Hampshire, April,1958, and April, 1959.
注释[4]:J.Weber, Phys. Rev. 117,306(1960),中译文：“引力波的观测和产生”，《物理译丛》，1963，第4期，第44-54页。
注释[5]:W.P.Mason,Electromechanical Transduccrs and Wave Filters,Van Nostrand, New York, 1948,p. 202.
注释[6]:R.H.Diske, Rev, Sei. Instr . 17,268 (1946）
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