三角函数公式推导6
事实上，如果分别用A 与A` 表示这两个级数的部分和数，则
n n
1 1 1
A` = ( - - )
3m 2k-1 4k-2 4k
1 1
= ( - )
4k-2 4k
1 1 1
= ( ( - )
2 2k-1 2k
1
= A
2 2m
于是
1
A → log 2 3m 2m 因为 1 A → A + 3m-1 3m 4m 与 1 A → A` +
3m-2 3m-1 4m-2
1
趋于同一极限 log 2, 所以级数(6)收敛并且即以次数为自己的和数。
2
2)如果从调和级数的部分和数H 的公式[358(4)]，[356]
n
1 1 1
H = 1+ + +…+ = log n+C+γ
n 2 3 n n
出发（其中C是欧拉常数，而γ 是无穷小），
n
注：读者容易想出，如何安排给定级数的项，使得变形过的级数的部分和数，具有两个预先给定的数B与C>B作为最大的与最小的极限。
1.计算sin x的函数值方法1
根据戴劳公式
3 5 2k-1
x x k-1 x
sin x=x- + + -…+(-1) +…
3! 5! (2k-1)!
3 4 2k-1
x x k-1 x
=x(1- + + -…+(-1) +…)
3! 5! (2k-1)!
4 8 4k
x x x
=x[(1+ + + -…+ +…)+
5! 9! (4k+1)!
2 6 4k-2
x x x
(- - + -…+ +…)]
3! 7! (4k-1)!
在上式中，可推导, 等比数列通项公式
4n
x
a1 =
n (4n+1)!
4n-2
x
a2 =-
n (4n-1)!
a =1+a1 +a2
n n n
a1
n
q1=
a1
n-1
4n
x
(4n+1)!
=
4n-4
x
(4n-3)!
(4n-7)! 4
= x
(4n-3)!
4
x
=
(4n-3)(4n-4)(4n-5)(4n-6)
a2
n
q2=
a2
n-1
4n-2
- x
(4n-1)!
=
4n-6
- x
(4n-5)!
(4n-5)! 4
= x
(4n-1)!
4
x
=
(4n-1)(4n-2)(4n-3)(4n-4)
根据等比数列前n项和求和公式, 因为q1<1.q2<1, 所以
n
a1(1-a1*q1 )
S1 =
n 1-q1
4 4
x x n
[(1-( ) ]
5! (4n-3)(4n-4)(4n-5)(4n-6)
=
4
x
1-
(4n-3)(4n-4)(4n-5)(4n-6)
n
a2(1-q2 )
S2 =
n 1-q2
2 4
x x n
- [(1-( ) ]
3! (4n-1)(4n-2)(4n-3)(4n-4)
=
4
x
1-
(4n-1)(4n-2)(4n-3)(4n-4)
模拟计算机可以使用下面的公式计算三角函数
sin 3.14=x*(1+S1 +S2 )
n n
4 4
x x n
[(1-( ) ]
5! (4n-3)(4n-4)(4n-5)(4n-6)
=x*(1+
4
x
1-
(4n-3)(4n-4)(4n-5)(4n-6)
2 4
x x n
[(1-( ) ]
3! (4n-1)(4n-2)(4n-3)(4n-4)
-
4
x
1-
(4n-1)(4n-2)(4n-3)(4n-4)
当x=3.14时，设n=10
sin x=x*(1+S1 +S2 )
n n
4 4
3.14 3.14 10
[(1-( ) ]
5! (4*10-3)(4*10-4)(4*10-5)(4*10-6)
sin 3.14=3.14* (1+
4
x
1-
(410-3)(410-4)(410-5)(410-6)
2 4
3.14 3.14 10
[(1-( ) ]
3! (4*10-1)(4*10-2)(4*10-3)(4*10-4)
-
4
x
1-
(410-1)(410-2)(410-3)(410-4)
计算sin x的函数值方法2
根据戴劳公式
3 5 2k-1
x x k-1 x
sin x=x- + + -…+(-1) +…
3! 5! (2k-1)!
3 4 2k-1
x x k-1 x
=x(1- + + -…+(-1) +…)
3! 5! (2k-1)!
在上式中，可推导, 等比数列通项公式
2n-2
n-1 x
a =(-1)
n (2n-1)!
根据[393]司特林公式
θ
n n 12n
n!= 2πn ( ) * e （0<θ<1)
e
所以
θ
2n+1 2n+1 12(2n+1)
(2n+1)!= 2π(2n+1) ( ) * e （0<θ<1)
e
等比数列公比
a
n
q=
a
n-1
n-1 2n-2
(-1) x
(2n-1)!
n-2 2n-4
(-1) x
(2n-3)!
2
x
=-
(2n-1)(2n-2)
等比数列前n项和
2 2n-2
-x n-1 x
1- (-1)
a -a *q (2n-1)(2n-2) (2n-1)!
S = 1 n = 2
n1 1-q -x
1-
(2n-1)(2n-2)
2 2n-2
x n-1 x
1+ (-1)
(2n-1)(2n-2) θ
2n+1 2n+1 12(2n+1)
2π(2n+1) ( ) * e
e
2
x
1+
(2n-1)(2n-2)
所以，模拟计算机可以使用下面的公式计算三角函数
3 5 2k-1
x x k-1 x
sin x=x- + + -…+(-1) +…
3! 5! (2k-1)!
2 4 2k-2
x x k-1 x
=x(1- + + -…+(-1) +…)
3! 5! (2k-1)!
=x*S
n
2 2n-2
x n-1 x
1+ (-1)
(2n-1)(2n-2) θ
2n+1 2n+1 12(2n+1)
2π(2n+1) ( ) * e
e
=x*
2
x
1+
(2n-1)(2n-2)
设setθ=0.5, 当x=3.14时, 设n=1000
2 2n-2
x n-1 x
1+ (-1)
(2n-1)(2n-2) θ
2n+1 2n+1 12(2n+1)
2π(2n+1) ( ) * e
e
sinx=x*
2
x
1+
(2n-1)(2n-2)
2 2*1000-2
3.14 1000-1 3.14
1+ (-1)
(21000-1)(21000-2) 0.5
21000+1 21000+1 12(21000+1)
2π(21000+1) ( ) * 2.718
2.718
sin3.14=3.14*
2
3.14
1+
(21000-1)(21000-2)
2 2*1000-2
3.14 1000-1 3.14
1+ (-1)
(21000-1)(21000-2) 0.5
21000+1 21000+1 12(21000+1)
2π(21000+1) ( ) * 2.718
2.718
0=3.14*
2
3.14
1+
(21000-1)(21000-2)
2 2*1000-2
3.14 3.14
1= *
(21000-1)(21000-2) 0.5
21000+1 21000+1 12(21000+1)
2π(21000+1) ( ) * 2.718
2.718
3.计算cos x的函数值方法1
根据戴劳公式
2 4 2k
x x k x
cos x=1- + + -…+(-1) +…
2! 4! (2k)!
4 8 4k
x x x
=1+( + +…+ +…)
4! 8! (4k)!
2 6 4k-2
x x x
+(- - -…- -…)+
2! 6! (4k-2)!
在上式中，可推导, 等比数列通项公式
4n
x
a1 =
n (4n)!
4n-2
x
a2 =-
n (4n-2)!
a =1+a1 +a2
n n n
a1
n
q1=
a1
n-1
4n
x
(4n)!
=
4n-4
x
(4n-4)!
(4n-4)! 4
= x
(4n)!
4
x
=
4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)
a2
n
q2=
a2
n-1
4n-2
- x
(4n-2)!
=
4(n-1)-2
- x
[4(n-1)-2]!
(4n-6)! 4
= x
(4n-2)!
4
x
=
(4n-2)(4n-3)(4n-4)(4n-5)
根据等比数列前n项和求和公式, 因为q1<1.q2<1, 所以
n
a1(1-a1*q1 )
S1 =
n 1-q1
4 4
x x n
[(1-( ) ]
4! 4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)
=
4
x
1-
4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)
n
a2(1-q2 )
S2 =
n 1-q2
2 4
x x n
- [(1-( ) ]
2! (4n-2)(4n-3)(4n-4)(4n-5)
=
4
x
1-
(4n-2)(4n-3)(4n-4)(4n-5)
模拟计算机可以使用下面的公式计算三角函数
cos 3.14= 1+S1 +S2
n n
4 4
x x n
[(1-( ) ]
4! 4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)
= 1+
4
x
1-
4n(4n-1)(4n-2)(4n-3)
2 4
x x n
[(1-( ) ]
2! (4n-2)(4n-3)(4n-4)(4n-5)
-
4
x
1-
(4n-2)(4n-3)(4n-4)(4n-5)
当x=3.14时，设n=10
cos x= 1+S1 +S2
n n
4 4
3.14 3.14 10
[(1-( ) ]
4! 4*10(4*10-1)(4*10-2)(4*10-3)
cos 3.14=3.14* (1+
4
3.14
1-
410(410-1)(410-2)(410-3)
2 4
3.14 3.14 10
[(1-( ) ]
2! (4*10-2)(4*10-3)(4*10-4)(4*10-5)
-
4
3.14
1-
(410-2)(410-3)(410-4)(410-5)
4 4
3.14 3.14 10
[(1-( ) ]
4! 4*10(4*10-1)(4*10-2)(4*10-3)
1+
4
3.14
1-
410(410-1)(410-2)(410-3)
2 4
3.14 3.14 10
[(1-( ) ]
2! (4*10-2)(4*10-3)(4*10-4)(4*10-5)
=
4
3.14
1-
(410-2)(410-3)(410-4)(410-5)
计算sin x的函数值方法2
根据戴劳公式
2 4 2k
x x k-1 x
cos x=1- + + -…+(-1) +…
2! 4! (2k)!
在上式中，可推导, 等比数列通项公式
2n
n x
a =(-1)
n (2n)!
根据[393]司特林公式
θ
n n 12n
n!= 2πn ( ) * e （0<θ<1)
e
所以
θ
2n 2n 12(2n)
(2n)!= 2π(2n) ( ) * e （0<θ<1)
e
等比数列公比
a
n
q=
a
n-1
n-1 2n
(-1) x
(2n)!
n-2 2n-2
(-1) x
(2n-2)!
2
x
=-
(2n)(2n-1)
当q<1时,
等比数列前n项和
2 2n
-x n x
1- (-1)
a -a *q (2n)(2n-1) (2n)!
S = 1 n = 2
n1 1-q -x
1-
(2n)(2n-1)
2 2n
x n x
1+ (-1)
(2n)(2n-1) θ
2n 2n 12(2n)
2π(2n) ( ) * e
e
2
x
1+
(2n)(2n-1)
所以，模拟计算机可以使用下面的公式计算三角函数
2 4 2k
x x k x
cos x=1- + + -…+(-1) +…
2! 4! (2k)!
=S
n
2 2n
x n x
1+ (-1)
(2n)(2n-1) θ
2n 2n 12(2n)
2π(2n) ( ) * e
e
2
x
1+
(2n)(2n-1)
设setθ=0.5, 当x=3.14时, 设n=1000
2 2n
x n x
1+ (-1)
(2n)(2n-1) θ
2n 2n 12(2n)
2π(2n) ( ) * e
e
cosx=
2
x
1+
(2n)(2n-1)
2 2*1000
3.14 1000 3.14
1+ (-1)
(21000)(21000-1) 0.5
21000 21000 12(21000)
2π(21000) ( ) * 2.718
2.718
cos3.14=
2
3.14
1+
(21000)(21000-1)
2 2*1000
3.14 1000 3.14
1+ (-1)
(21000)(21000-1) 0.5
21000 21000 12(21000)
2π(21000) ( ) * 2.718
2.718
1=
2
3.14
1+
(21000)(21000-1)
2 2*1000
3.14 1000 3.14
1+ (-1)
(21000)(21000-1) 0.5
21000 21000 12(21000)
2π(2*1000) ( ) * 2.718
2.718
第十七部分无穷级数欧拉常数
358.8)依定理2
1
(a) (b>0) 当s>1时收敛，当s≤1时发散：
s
0 (a+bn)
1 1 1
: →
s s s
(a+bn) n b
1
(б) 发散；
n
n n
1 1
: →1
n
n n n
1
(в) sin (0<x<π) 发散；
n
1 1
sin : →x
n n
类似的，级数
x
log(1+ ) (x<0)
n
及
n
( a -1) (a≠1)也发散；
x
(г) （1-cos ）收敛；
n
2
x 1 x
1-cos : 2 →
n n n
9)下面是这种类型的更复杂的例子：
log n n
(a) （1- ）
n
用x 表示这个级数的普遍项对1/n的比值
n
log n
log x =log n+n log(1- )
n n
利用在125，5）中讲到的log(1+x)的展开式，可以写出
log n log n 1 log n 2 log n n
log(1- )=- - ( ) +a *( )
n n 2 n n n
其中a →0，当n→∞时，于是
n
2 2
1 log n log n
log x =- ( ) +a *( ) →0
n 2 n n n
因而x →1，即所给的级数发散
n
2n+1
(б) (n log -1 )
2n-1
这儿也利用log(1+x)的展开式，有
2n+1 2
log =log(1+ )
2n-1 2n-1
2 1 2 2 1 2 3 2 3
= - ( ) + ( ) +β *( )
2n-1 2 2n-1 3 2n-1 n 2n-1
其中β →0，当n→∞时，于是
n
2n+1 2n+3 1 2 8n 1 2
n log -1= *( ) +β * ( ) *( )
2n-1 3(2n-1) 2n-1 n 2n-1 2n-1
1 2
这样，所考虑的级数的普遍项对( ) 的比值具有极限1/3，
2n-1
10)最后考虑级数
1 n+1
( - log n ）
n n
用微分学的方法容易确立不等式：
log (1+x)<x (x≠0,-1<x<+∞)
这是因为
1
[log (1+x)]`=
1+x
x`=1,
1
< (x≠0,-1<x<+∞)
(1+x) ln10
所以log (1+x)<x (x≠0,-1<x<+∞), 利用这不等式，可以写出：
n+1 1 1
log = =log(1+ )<
n n n
同时
n+1 n 1 1
log = =-log =-log(1+ )>
n n+1 n+1 n+1
于是
1 n+1 1 1 1
0< -log < - =
n n n n+1 n(n+1)
由此可见，给定级数的各项都是正的且小于收敛级数
1
[354,4)]
n(n+1)
注：
1 1 1
≡ ( - )
n(n+1) n n+1
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
1 k+1
( - log ) =H -log(n+1)→C
n k n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。这儿可以用log n代替log(n+1)，因为它们的差数等于 n
1
log(1+ )
n
这个差数趋于0. 最后：用γ 表示某一无穷小，对于H 我们有一个著名的公式
n n
H =log n+C+γ (4)
n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。所以,
n
1 k+1
( - log ) =H -log(n+1)→C
n k n
1 k+1
( - log ) =log n -log(n+1)+C +γ
n k n
公式(4)中固定的常数C叫欧拉常数。这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.57721566490…
358.10a)最后考虑级数
1
n
用微分学的方法容易确立不等式：
1
<1 (1<x<+∞)
n
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
1
=H →C
n n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，
n n
对于H 我们有一个著名的公式,
n
1
H = +C+γ (4a)
n n+1 n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。
n
1
=H →C
n n
1 n
= +C +γ
n n+1 n
公式(4)中固定的常数C叫欧拉常数。这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.57721566490…*π=0.57721566490…3.1415926=1.813376,
即C=0.57721566490a, a为校正系数
利用数学归纳法可知
1 1
=1+ =1.5
2 2
1
≈1/3+C=0.3333+0.5721566490*2=0.3333+1.1544313298=1.487761
2
1 1 1
=1+ + =1.83333
3 2 3
1
≈2/4+C=0.5+0.5721566490*2=1.93039
3
1 1 1 1 1 1 1 1 1
=1+ + + + + + + + =2.8289347111
9 2 3 4 5 6 7 8 9
1 9
≈ +C=0.9+0.57721566490*3.1415=2.713376
9 9+1
358.10b)最后考虑级数
1
n!
用微分学的方法容易确立不等式：
1
<1 (1<x<+∞)
n!
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
1
=H →C
n! n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，
n n
对于H 我们有一个著名的公式,
n
n
H = +C+γ (4b)
n n+1 n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。
n
1
=H →C
n! n
1 n
= +C +γ
n! n+1 n
公式(4)中固定的常数C叫欧拉常数。这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.57721566490…2=1.15443131298,
即C=0.57721566490a, a为校正系数
利用数学归纳法可知
1 1
=1+ =1.5
2! 2!
1
≈1/2+C=0.5+0.5721566490*2=0.30103+1.1544313298=1.45546
2!
1 1 1
=1!+ + =1.6666
3! 2! 3!
1
≈2/3+C=0.666+0.5721566490*2=1.8043
3!
1 1 1 1
=1+ + + =1.7
4! 2! 3! 4!
1 1 1 1 1
=1+ + + + =1.71
5! 2! 3! 4! 5!
1
≈4/5+C=0.8+C =0.8+0.5721566490*2= 1.944
5!
1 1 1
e=1+ + +…+ +…
1! 2! n!
1
=1+
n!
1
=1+ +C+γ
n+1 n
358.10c)最后考虑级数
n-1 2n-1
sin x= (-1) x
(2n-1)!
用微分学的方法容易确立不等式：
n-1 2n-1
(-1) x <1 (1<x<+∞)
(2n-1)!
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
n-1 2n-1
(-1) x =H →C
(2n-1)! n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，
n n
对于H 我们有一个著名的公式,
n
H = log(2/π)*x+(2/π)x0.001+1 +C+γ (0<x<π/2) (4c)
n n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。
n
n-1 2n-1
(-1) x =H →C
(2n-1)! n
n-1 2n-1
sin x= (-1) x = log(2/π)*x+(2/π)x0.001+1 +C+γ (0<x<π/2)
(2n-1)! n
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01
例如：利用数学归纳法可知
sin 0.8=0.717356
sin 0.8= log(2/π)*x+(2/π)x0.001+0.01+1= log(1/1.57)*0.8+(1/1.57)0.80.01+0.01+1
= -0.2928+0.0050955+0.01+1 =0.7172
sin 1=0.84147098
sin 1= log(2/π)*x+(2/π)x0.001+0.01+1= log(1/1.57)*1+(1/1.57)10.01+1
= -0.1958+0.006369420.01+1 =0.82056
sin 1.5=0.9974
sin 1.5= log(2/π)*x+(2/π)x0.001+0.01+1= log(1/1.57)*1.5+(1/1.57)1.50.01+1
= -0.0198+0.00955+0.01+1 =0.99975
358.10d)最后考虑级数
n-1 2n-1
sin x= (-1) x
(2n-1)!
用微分学的方法容易确立不等式：
n-1 2n-1
(-1) x <1 (1<x<+∞)
(2n-1)!
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
n-1 2n-1
(-1) x =H →C
(2n-1)! n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，
n n
对于H 我们有一个著名的公式,
n
H =log(1/π)(π-x)+(1/π)(π-x)*0.001+1 +C+γ (π/2<x<π) (4d)
n n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。
n
n-1 2n-1
(-1) x =H →C
(2n-1)! n
n-1 2n-1
sin x= (-1) x = log(2/π)(π-x)+(2/π)(π-x)*0.001+1+C+γ (π/2<x<π)
(2n-1)! n
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01
例如：利用数学归纳法可知
sin 1.7=0.99164810
sin 1.7=log(2/π)(π-x)+(2/π)(π-x)0.001+0.01+1
=log(1/1.57)(3.14-1.7)+(1/1.57)(3.14-1.7)0.01+0.01+1
=-0.0375371+0.000917197+0.01+1=0.97338
sin 2.3=0.745705
sin 2.3=log(2/π)(π-x)+(2/π)(π-x)0.001+0.01+1
=log(1/1.57)(3.14-2.3)-(1/1.57)(3.14-2.3)0.01-0.01+1
=-0.27162+0.0053503+0.01+1=0.7437
sin 2.8=0.3349
sin 2.8=log(2/π)(π-x)+(2/π)(π-x)0.001+0.01+1
=log(1/1.57)(3.14-2.8)-(1/1.57)*(3.14-2.8)*0.01-0.01+1
=-0.6644+0.0021656+0.01+1=0.3477656
358.10e)最后考虑级数
n-1 2n-1
sin x= (-1) x
(2n-1)!
用微分学的方法容易确立不等式：
n-1 2n-1
(-1) x <1 (1<x<+∞)
(2n-1)!
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
n-1 2n-1
(-1) x =H →C
(2n-1)! n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，
n n
对于H 我们有一个著名的公式,
n
H =-log(1/π)(x-π/2)-(1/π)(x-π/2)*0.001-1-C-γ (π<x<3π/2) (4e)
n n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。
n
n-1 2n-1
(-1) x =H →C
(2n-1)! n
n-1 2n-1
sin x= (-1) x =-log(2/π)(x-π/2)-(2/π)(x-π/2)*0.001-1-C-γ (π<x<3π/2)
(2n-1)! n
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01
例如：利用数学归纳法可知
sin 3.3=-0.1577
sin3.3=-log(2/π)(x-π)-(2/π)(x-π)0.001-0.01-1
=-log(1/1.57)(3.3-3.14)+(1/1.57)(3.3-3.14)0.01-0.01-1
=0.9917796-0.0010191-0.01-1=-0.0192395
sin 3.8=-0.61185
sin 3.8=-log(2/π)(x-π)-(2/π)(x-π)0.001-0.01-1
=-log(1/1.57)(3.8-3.14)+(1/1.57)(3.8-3.14)0.01-0.01-1
=0.37635-0.004263-0.01-1=0.637913
sin 4.1=-0.81827
=-log(1/1.57)(3.8-3.14)+(1/1.57)(3.8-3.14)*0.01-0.01-1
=0.2136-0.006114-0.001-1=-0.8964
358.10f)最后考虑级数
n-1 2n-1
sin x= (-1) x
(2n-1)!
用微分学的方法容易确立不等式：
n-1 2n-1
(-1) x <1 (1<x<+∞)
(2n-1)!
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
n-1 2n-1
(-1) x =H →C
(2n-1)! n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，
n n
对于H 我们有一个著名的公式,
n
H =-log(1/π)(x-π/2)-(1/π)(x-π/2)*0.001-1-1-C-γ (3π/2<x<2π) (4f)
n n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。
n
n-1 2n-1
(-1) x =H →C
(2n-1)! n
n-1 2n-1
sin x= (-1) x =-log(2/π)(2π-x)-(2/π)(2π-x)*0.001-1-C-γ (3π/2<x<2π)
(2n-1)! n
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01
例如：利用数学归纳法可知
sin 4.9=-0.982452
sin 4.9=-log(2/π)(2π-x)-(2/π)(2π-x)0.001-1
=-log(1/1.57)(6.28-4.9)+(1/1.57)(6.28-4.9)0.01-0.01-1
=0.056020-0.0087898-0.01-1=-0.9627098
sin 5.2=-0.8834
sin 5.2=-log(2/π)(x-π)-(2/π)(x-π)0.001-0.01-1
=-log(1/1.57)(6.28-5.2)+(1/1.57)(6.28-5.2)0.01-0.01-1
=0.37635-0.004263-0.01-1=0.637913
sin 4.1=-0.81827
sin 4.1=log(1/1.57)(4.1-3.14)+(1/1.57)(4.1-3.14)*0.01-0.01-1
=0.197284-0.006878-0.01-1=-0.819594
358.11a)最后考虑级数
n 2n
cos x= (-1) x
(2n)!
用微分学的方法容易确立不等式：
n 2n
(-1) x <1 (1<x<+∞)
(2n)!
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
n 2n
(-1) x =H →C
(2n)! n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，
n n
对于H 我们有一个著名的公式,
n
H =-log(2/π)(π/2-x)+(2/π)(π/2-x)*0.01+1+C+γ (0<x<π/2) (5a)
n n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。
n
n 2n
(-1) x =H →C
(2n)! n
n 2n
cos x= (-1) x =-log(2/π)(π/2-x)+(2/π)(π/2-x)*0.01+1+C+γ (3π/2<x<2π)
(2n)! n
公式(5a)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01
例如：利用数学归纳法可知
cos 0.2=0.98006
cos 0.2=-log(2/π)(π/2-x)+(2/π)(π/2-x)0.001+1
=-log(1/1.57)(1.57-0.2)+(1/1.57)(1.57-0.2)0.01+0.01+1
=-0.059179+0.001273+0.01+1=0.952093
cos 1=0.540302
cos 1=-log(2/π)(π/2-x)+(2/π)(π/2-x)0.001+1
=-log(1/1.57)(1.57-1)+(1/1.57)(1.57-1)0.001+0.01+1
=-0.440024+0.003630+0.01+1=0.573606
cos 1.4=0.1699
cos 1.4=-log(2/π)(π/2-x)+(2/π)(π/2-x)0.001+1
=-log(1/1.57)(1.57-1.4)+(1/1.57)*(1.57-1.4)*0.001+0.01+1
=-0.9654+0.0010828+0.01+1=0.0456828
358.11b)最后考虑级数
n 2n
cos x= (-1) x
(2n)!
用微分学的方法容易确立不等式：
n 2n
(-1) x <1 (1<x<+∞)
(2n)!
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
n 2n
(-1) x =H →C
(2n)! n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，
n n
对于H 我们有一个著名的公式,
n
H =-log(1/π)(x-π/2)-(1/π)(x-π/2)*0.01-1-C-γ (π/2<x<π) (5b)
n n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。
n
n 2n
(-1) x =H →C
(2n)! n
n 2n
cos x= (-1) x =-log(1/π)(x-π/2)-(1/π)(x-π/2)*0.01-1-C-γ (π/2<x<π)
(2n)! n
公式(4c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01
例如：利用数学归纳法可知
cos 1.7=-0.1288
cos 1.7=-log(2/π)(x-π/2)-(2/π)(x-π/2)0.001-0.01-1
=-log(1/1.57)(1.7-1.57)-(1/1.57)(1.7-1.57)0.01-0.01-1
=1.08195-0.008080-0.01-1=0.06387
cos 2.3=-0.6627
cos 2.3=-log(2/π)(x-π/2)-(2/π)(x-π/2)0.001-0.01-1
=log(1/1.57)(2.3-1.57)-(1/1.57)(2.3-1.57)0.01-0.01+1
=0.332576-0.00464968-0.01-1=-0.68207368
cos 2.8=-0.9422
cos 2.8=-log(2/π)(x-π/2)-(2/π)(x-π/2)0.001-0.01-1
=log(1/1.57)(2.8-1.57)-(1/1.57)*(2.8-1.57)*0.01-0.01+1
=0.105994-0.007834-0.01-1=-0.91184
358.11c)最后考虑级数
n 2n
cos x= (-1) x
(2n)!
用微分学的方法容易确立不等式：
n 2n
(-1) x <1 (1<x<+∞)
(2n)!
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
n 2n
(-1) x =H →C
(2n)! n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，
n n
对于H 我们有一个著名的公式,
n
H =-log(2/π)(3π/2-x)-(2/π)(3π/2-x)*0.01-1+C+γ (π<x<3π/2) (5c)
n n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。
n
n 2n
(-1) x =H →C
(2n)! n
n 2n
cos x= (-1) x =-log(2/π)(3π/2-x)-(2/π)(3π/2-x)*0.01-1-C-γ (π<x<3π/2)
(2n)! n
公式(5c)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01
例如：利用数学归纳法可知
cos 3.3=-0.99834
cos 3.3=-log(2/π)(3π/2-x)+(2/π)(3π/2-x)0.01-1-0.01
=-log(1/1.57)(4.71-3.3)+(1/1.57)(4.71-3.3)0.01-0.01
=0.04668-0.008980-0.01-1=-0.9721
cos 4.1=-0.5748
cos 4.1=-log(2/π)(3π/2-x)+(2/π)(3π/2-x)0.001-0.01
=-log(1/1.57)(4.71-4.1)+(1/1.57)(4.71-4.1)0.001-0.01
=0.4105698+0.0038853+0.01-1=-0.5755772
cos 4.5=-0.2179
cos 4.5=-log(2/π)(3π/2-x)+(2/π)(3π/2-x)0.001-0.01
=-log(1/1.57)(4.71-4.5)+(1/1.57)*(4.71-4.5)*0.001-0.01
=-0.87368+0.0013375+0.01+1=-0.1376575
358.11d)最后考虑级数
n 2n
cos x= (-1) x
(2n)!
用微分学的方法容易确立不等式：
n 2n
(-1) x <1 (1<x<+∞)
(2n)!
如果用C表示这个级数的和数，则部分和数
n 2n
(-1) x =H →C
(2n)! n
(H 总是表示调和级数的部分和数)。最后：用γ 表示某一无穷小，
n n
对于H 我们有一个著名的公式,
n
H =log(2/π)(x-3π/2)+(2/π)(x-3π/2))*0.01-0.01+1+C+γ (3π/2<x<2π) (5d)
n n
这个公式表明，当n无限增大时，调和级数的部分和数H 像log n一样增大。
n
n 2n
(-1) x =H →C
(2n)! n
n 2n
cos x= (-1) x =log(2/π)(x-3π/2)+(2/π)(x-3π/2))*0.01-0.01+1-C-γ (3π/2<x<2π)
(2n)! n
公式(5d)中固定的常数C等于0.01, 这个常数的数值（它是从另外的方法计算出来的）是这样的：C=0.01
例如：利用数学归纳法可知
cos 4.9=0.186512
cos 4.9=log(2/π)(x-3π/2)+(2/π)(x-3π/2))0.01-0.01+1
=log(1/1.57)(4.9-4.71)+(1/1.57)(4.9-4.71)0.01-0.01+1
=-0.917146-0.00120191-0.01+1=0.09405
cos 5.2=0.468516
cos 5.2=log(2/π)(x-3π/2)+(2/π)(x-3π/2))0.001-1-0.01
=log(1/1.57)(5.2-4.71)+(1/1.57)(5.2-4.71)0.01-0.01+1
=-0.505703-0.003121-0.01+1=0.4811754
cos 5.8=0.8855195
cos 5.8=log(2/π)(x-3π/2)+(2/π)(x-3π/2))0.001-1-0.01
=log(1/1.57)(5.8-4.71)-(1/1.57)*(5.8-4.71)*0.1-0.01+1
=-0.158473-0.0069426-0.01+1=0.8445844
376.非绝对收敛级数的情形
例题1）考虑显然非绝对收敛的级数
1 1 1 1 1
1- + + -…+ - +… (5)
2 3 4 2k-1 2k
容易证得[参看2)它的和数是log 2。 我们这样调动它的项，使得在一个正项后面跟着两个负项：
1 1 1 1 1 1 1 1
1- - + - - -…+ - - +… (6)
2 4 3 6 8 2k-1 4k-2 4k
我们断定，这样调换后的级数的和数减小一半。
事实上，如果分别用A 与A` 表示这两个级数的部分和数，则
n n
1 1 1 1 1
A` = ( - - )= ( - )
3m 2k-1 4k-2 4k 4k-2 4k
1 1 1
= ( ( - )
2 2k-1 2k
1
= A
2 2m
于是so
1
A` → log2
3m 2
因为
1 1
A =A + 与 A =A +
3m-1 3m 4m 3m-2 3m-1 4m-2
1
趋于同一极限 log2, 所以级数（6）收敛并且即以数为自己的和数。
2
2）如果从调和级数的部分和数H 的公式[358(4)]
n
1 1
H =1+ +…+ =log n+C+γ
n 2 n n
出发（其中C是欧拉常数，而γ 是无穷小），可以得到更普遍的结果。由此，首先有
n
注：读者容易想出，如何安排给定级数的项，使得变形过的级数的部分和数，具有两个预先给定的数B与C>B作为最大的与最小的极限。
1 1 1 1
+ +…+ = H
2 4 2m 2 m
1 1 1
= log m + C + γ
2 2 2 m
1 1 1
1+ +…+ = H - H
3 2K-1 2k 2 k
1 1 1 1
= log 2 + log k + C+γ - γ
2 2 2 2k 2 k
现在把级数（5）的项排成这样的次序：首先放p个正项与q个负项，然后又放p个正项与q个负项，如此下去, 为了要确定出级数
1 1 1 1 1 1 1
1- +…+ - -…- + +…+ - -… (7)
3 2p-1 2 2q 2p+1 4p-1 2p+2
的和数，轮流把p项或q项的数串结合起来是更方便的。
~
用这方法得到的级数的部分和数A 等于
2n
~ p
A =log(2 )+a (a →0)
2n q n n
并且趋于极限
p
log(2 )
q
~
和数A 也趋于同一极限。
2n-1
最后，由于374的说明，级数（7）也将以这个数
p
log(2 )
q
作为自己的和数, 特别的，对级数（5）来说，可得到log2(p=q=1), 对级数（6）来说，与1）中一样，得到, 类似的：
1 1 1 1 1 3
1+ - + + - +…= log2 (p=2, q= 1),
3 2 5 7 4 2
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1- - - - + - - - - + -…+=0 (p=1, q= 4),
2 4 6 8 3 10 12 14 16 5
如此类推。例如：
1 1 1 1 1 1 1 1
1+ + + + + + + +
3 5 7 9 11 13 15 17
1 1 1 1 1 1 1
-
+ + + + +…+ - -…- +...= log3 (p=9, q= 4),2 4 6 8 19 35 10
1 1 1 1 1 1 1 1
1+ +…+ - -…- + +…+ - -…- +…=log4 (p=16, q= 4),
3 33 2 8 35 65 10 16
可以求log3.5的近似值, log3.5=log3*0.5=log3+log0.5
1 1 1 1 1 1 1 1
1- -…- + - -…- + - -…- +…=log0.5 (p=1, q= 16),
2 32 3 34 64 5 66 128
1 1 1 1 1 1 1 1
1+ + + + + + + +
3 5 7 9 11 13 15 17
1 1 1 1 1 1 1
-
2 4 6 8 19 35 10+ + + + +…+ - -…- +...= log3 (p=9, q= 4),
log0.7=log7*0.1=log7+log0.1
1 1 1 1 1 1 1 1
1- -…- + - -…- + - -…- +…=log0.1 (p=1, q= 400),
2 800 3 802 1600 5 1602 2400
1 1 1 1 1 1 1 1
1- +…+ - -…- + +…+ - -…- +…=log7 (p=49, q= 4),
3 99 2 8 101 199 10 16
我们指出，如果正项及负项的数串组中的项数从一组到另一组还要改变的话，那么，这个变化的规律容易这样选择，使得对变形过的级数来说，实际上，得到任何预先给定的和数，这点留给读者去证明。
388.例题1）
1
(1- )
2
n
因为部分乘积
1 1 1
P =(1- )(1- )……(1- )
n 2 2 2
2 3 n
1 n+1
= *
2 n
1
→
2
所以无穷乘积收敛，而它的值是1/2.;
2)瓦里斯公式[305]
π 2*2*4*4......2n*2n
= lim
2 n→∞ 1*3*3*5......(2n-1)*(2n+1)
显然，相当于数π/2的无穷乘积展开式,
π 2 2 4 4 2n 2n
= * * * …… * ……
2 1 3 3 5 2n-1 2n+1
这公式可化为下列公式：
1 π
[1- ]=
2
(2m+1) 4
1 2
[1- ]=
2
4m π
3)证明（当｜x｜<1时）
2 4 2n-1 1
(1+x)(1+x )(1+x )…(1+x )…=
1-x
实际上，速乘以后就容易断定
2 2n-1 2n
(1+x)*P =(1-x)(1+x)(1+x )…(1+x )=1-x
n
2n
1-x
P =
n 1-x
由此取极限，就得到所求等式。
4）在54，7a中我们曾经有极限
φ φ φ sin φ
lim cos *cos ……cos = (φ≠0)
n→∞ 2 n
2 2 2 φ
现在我们可以写成
φ sin φ
cos ]=
n
2 φ
特别的，当φ=π/2时，得到展开式
2 1 1 1 1 1 1 1 1 1
= * + * + + *……
π 2 2 2 2 2 2 2 2 2
[维也达（F.Vieta）]这个公式与瓦里斯公式一起，在分析史上提供给我们最初两个无穷乘积的例子。
5）在303(10)中，对于第一类全椭圆积分，我们确立了公式
2
F(k)= lim (1+k )(1+k )…(1+k )
π n→∞ 1 2 n
其中数串k 用下面的循环关系式来确定：
n
2
1- 1-k
n-1
k = (k =k)
2 0
1+ 1-k
n-1
这公式给出F(k)的无穷乘积展开式
2
F(k)= * (1+k )
π n
6)再考虑这样的无穷乘积
1
n
e
1
1+
n
在给定情形下中部分乘积具有下面的形状
1 1
1+ +…+
2 n
e
P =
n n+1
log n+C+γ
n
e
n+1
C γ
n n
= *e *e
n+1
其中C是欧拉常数，γ 是无穷小量[358,4]。由此可知，乘积收敛，并且它的值
n
C
P=e
369.交错级数
级数的项轮流地一会儿有正号，一会儿有负号，叫做交错级数, 把交错级数的项的符号明白地写出来是更方便的，例如
n-1
c -c +c -c +…+(-1) c +… (c >0) (7)
1 2 3 4 n n
关于交错级数，有下面的简单定理。
莱布尼兹定理, 如果交错级数（7）的项的绝对值单调递减：
c <c (n=1,2,3,…) (8)
n+1 n
并且趋于0：
lim c =0,
n
则级数收敛。 证明，偶数个项的部分和数C 可写成下面的形状：
2m
C =(c -c )+(c -c )+…+(c -c )
2m 1 2 3 4 2m-1 2m
因为每个括号都是正数[由（8）]，由此就显然有，随着m的增大和数C 也增大。
2m
另一方面，如果改写C 成为
2m
C =c -(c -c )-…-(c -c )-c
2m 1 2 3 2m-2 2m-1 2m
那么就容易看出，C 囿于上;
2m
C <c
2m 1
在这情形下，依关于单调数串的定理[34],
当m无限增大时部分和数C 具有有穷极限,
2m
lim C =C
m→∞ 2m
现在讨论奇数个项的部分和数C ,
2m-1
显然有，
C =C +c
2m-1 2m 2m
因为普遍项趋于0，故也有
lim C =C
m→∞ 2m-1
由此推知，C就是给定级数的和数,
附注，我们看见过，偶数个项的部分和数C 递增地向级数的和数C接近。写C 成
2m 2m-1
C =c -(c -c )-…-(c -c )
2m-1 1 2 3 2m-2 2m-1
后，容易确定，奇数个项的和数递减地趋近于C。这样，就总有：
C <C<C
2m 2m-1
特别地，可以断定：
0<C<c
1
这使我们得到一个对于所考虑级数的余式（它本身也是交错级数）的极简单而方便的估计。即是，对于
γ =c -c +…
2m 2m+1 2m+2
显然有
0<γ <c
2m 2m+1
相反地，对于
γ =-c +c -…=-(c -c +…)
2m-1 2m 2m+1 2m 2m+1
有
γ <0,｜γ ｜<c
2m-1 2m-1 2m
这样，在所有的情形下，莱布尼兹型级数的余式都具有与自己的第一项相同的符号，并且绝对值比这第一项小。
注：我们把满足莱布尼兹定理的条件的交错级数叫作莱布尼兹型级数。再利用级数作近似计算时[参看396]常常要用到这个附注。
370.例题1）下面两个级数都可作为莱布尼兹型级数的最简单的例子：
n-1
(-1) 1 1 n-1 1
（a） =1- + -…+(-1) +…
n 2 3 n
n-1
(-1) 1 1 n-1 1
(б) =1- + -…+(-1) +…
2n-1 3 5 2n-1
二者的收敛性都可以从上面证明过的定理推得。 但同时，这两个级数的绝对值级数都发散： 对于级数（a）这绝对值级数是调和级数， 对于级数(б)可得级数
1 1 1
1+ + -…+ +…
3 5 2n-1
这个级数的发散性从它的部分和数,
n-1
(-1) 1 1
> = H
2k-1 k=1 2k 2 k
可以明显看出, 这样，我们就有了级数(a)与(б)这样两个非绝对收敛级数的例子。[以后我们将看到，第一个级数的和数是log 2，而第二个的和数等于π/4；376，2）；393，392]
2)依莱布尼兹定理下面几个级数都收敛：
n-1 n n-1
(-1) (-1) (-1)
, , (s>0)
s n=2 s n=2 s
n nlog n nlog n*(loglog n)
如果依这些级数的项的绝对值来替代级数的项， 那么，我们知道，当s>1时得到收敛级数，而当s≤1时得到发散级数。由此可见，原来的级数当s>1时是绝对收敛的，而当s≤1时是非绝对收敛的。特别地，关于在361与367中我们曾经考虑过的幂级数
n
x
s
n
现在可以说，在级数收敛区间的端点x=-1处，当s≤1时级数仍然收敛，但非绝对收敛。
3）对任何x≠0考虑级数
n x
(-1) sin
n
莱布尼兹定理是可以应用的，如果不能应用到这个级数上的话，也可应用到它的充分远的（对下标来说的）余式上。事实上，当n充分大时，
x
sin 有与x相同的符号，并且它的绝对值随着n的增大而减少。
n
所以级数收敛[显然非绝对收敛，参看358，8）（в）].
4)为了要说明在莱布尼兹定理中数c 单调递减的要求决不是多余的，我们考虑交错级数
n
1 1 1 1 1 1
- + - +…+ - +…
2 -1 2 +1 3 -1 3 +1 n -1 n -1
它的普遍项趋于0. 它的2n个项的和数等于,
1 1 2
( - )= =2H
k -1 k +1 k=2 k-1 n
并且与n同时无限增大，级数发散! 不难验出，递减的单调性在每一次由项
1
n -1
变到项
1
n+1 -1
时都被破坏了, 为了同一目的，发散级数
n-1
(-1) 1
[ + ]
n n
也可以供我们应用，证明留给读者去作。
证明上述级数发散, 我们考虑交错级数
1 1 1 1 1 1 1 1
+ - + - + +…+ + +…
1 1 2 2 3 3 n -1 n
它的普遍项趋于0. 它的2n个项的和数等于
n-1
(-1) 1 2
[ + ]= =2H
n n n n
也可以供我们应用，证明留给读者去作。
并且与n同时无限增大，级数发散! 不难验出，递减的单调性在每一次由项
1 1
- +
n n
变到项
1 1
+
n n
时都被破坏了.
5）最后的级数还引起这样的说明。
如果把那个级数跟收敛级数
n-1
(-1)
n
相比较, 就可以发现，它们的普遍项的比值趋于1. 由此可见，第357目定理2在任意项级数中没有类似的定理。
第十八部分级数的乘法
377.级数的乘法
关于两个收敛级数的逐项相加（或相减），以及以常数因数与收敛级数逐项相乘，已经在355，3与4中讲过。现在我们研究级数乘法的问题，设给定两个收敛级数
A= a =a +a +…+a +… (A)
n 1 2 n
与
B= b =b +b +…+b +… (B)
m 1 2 m
仿照有穷和数乘法的规则，在这儿也考虑这两个级数的项所有可能的成对的乘积a b
i k
从这些乘积可作为无穷矩阵
a b a b a b … a b …
1 1 2 1 3 1 i 1
a b a b a b … a b …
1 3 2 2 3 2 i 2
a b a b a b … a b …
1 3 2 3 3 3 i 3
……………………………………
a b a b a b … a b …
1 k 2 k 3 k i k
………………………………………
这些乘积可以用很多方法排成简单数串的形状。例如，可以按对角线或按正方形写出乘积
a b a b a b …
1 1 2 1 3 1
a b a b a b …
1 3 2 2 3 2
a b a b a b …
1 3 2 3 3 3
……………………………………
(8)
a b a b a b …
1 1 2 1 3 1
a b a b a b …
1 3 2 2 3 2
a b a b a b …
1 3 2 3 3 3
……………………………………
a b a b a b … a b …
0 0 1 0 2 0 3 0
a b a b a b … a b …
0 1 1 1 2 1 3 1
a b a b a b … a b …
0 2 1 2 2 2 3 2
a b a b a b … a b …
0 3 1 3 2 3 3 3
………………………………………
a b a b a b …
0 0 1 0 2 0
a b a b a b …
0 1 1 1 2 1
a b a b a b …
0 2 1 2 2 2
……………………………………
它们分别引出数串
a b ; a b , a b ; a b , a b , a b ; （9）
1 1 1 2 2 1 1 3 2 2 3 1
或
a b ; a b , a b , a b ; a b ; a b , a b ; a b , a b ; （10）
1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1
歌西定理，如果级数（A)与（B）绝对收敛，则由在任何次序下得到的（8）的那些乘积组成的级数也收敛，并且这级数的和数既是和数的乘积AB, 证明，依假定，级数
｜a ｜=｜a ｜+｜a ｜+...+｜a ｜+... （A*）
n 1 2 n
与
｜b ｜=｜b ｜+｜b ｜+...+｜b ｜+... （B*）
m 1 2 m
收敛，既是，具有有穷和数，比方说，A与B。把乘积（8）的那些用任意方式排列成数串的形状后，从它们作出级数
a b =a b +a b +..+a b (11)
is ks i1 k1 i2 k2 is ks
为要证明相应的绝对值级数
｜a b ｜=｜a b ｜+｜a b ｜+...+｜a b ｜+... (12)
is ks i1 k2 i2 k2 is ks
的收敛性，考虑它的第s部分和数；
如果用v表示记号i ,k ,i ,k ,…,i ,k 中最大的一个，则显然
1 1 2 2 n n
｜a b ｜+｜a b ｜+…+｜a b ｜+…≤
i1 k1 i2 k2 is ks
(｜a ｜=｜a ｜+｜a ｜+…+｜a ｜) (｜b ｜+｜b ｜+…+｜b ｜) ≤A*B
n 2 2 n 2 3 n
由此[356]得出级数(12)的收敛性，因而也得出级数（11）的绝对收敛性。剩下的只是确定级数的和数。为此，我们先给级数（11）的项以更适当的排列，因为，这个级数，像绝对收敛级数一样，具有可交换性[375]。把这些项依正方形想（10）中那样排列出来后，我们把彼此不在同一正方形的数串组结合起来：
a b +(a b +a b +a b )+(a b +a b +a b +a b +a b )+…
1 1 1 2 2 2 2 1 1 3 2 3 3 3 3 2 3 1
如果像通常那样用A 与B 表示级数（A）与（B）的部分和数。
n m
则对级数（13）说来，部分和数是
A B ,A B ,A B ,…,A B ,…;
1 1 2 2 3 3 k k
它们趋于乘积AB，这样一来，AB就不仅是级数(13)的和数，而且也是级数（11）的和数了。 在级数的实际相乘时，像（9）中按对角线排列（8）的那些乘积， 常常是更便利的；通常把在同一对角线上的那些项结合在一起。
AB=a b +(a b +a b )+(a b +a b +a b )+… (14)
1 1 1 1 2 1 1 3 2 2 3 1
例如，设把下列两个幂级数相乘：
n 2 n
a x =a +a x +a x +...+a x +...
n 0 1 2 n
m 2 m
b x =b +b x +b x +...+b x +...
m 0 1 2 m
并且x取在相应的收敛区间内部[368]。在这情形下，不难想出，上述方法可得出乘积中同类项的系数：
n m
b x * b x
n m
2
=a b +(a b +a b )x+(a b +a b +a b )x +…
0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 1 2
公式推导1
根据级数的乘法
n m
b x * b x
n m
2
=a b +(a b +a b )x+(a b +a b +a b )x +…
0 0 0 1 1 0 0 2 1 1 1 2
因为tg x=sin x/cos x
3 5 2k-1
x x k-1 x 2k
sin x=x- + -…+(-1) +o(x )
3! 5! (2k-1)!
1 1 1 1
a =1, a = , a = , a = , …, a = ,
1 6 2 120 3 5040 2 (2k-1)!
1 1
=
cos 2 4 2k
x x k x
1- + -…+(-1) +…
2! 4! (2k)!
1 1 24
b =1, b = =2,b = = ,
1 2 1 3 1 1 11
1- 1- +
2! 2! 4!
1 720
b = = ,
3 1 1 1 329
1- + -
2! 4! 6!
1
b =
n 2 4 2k
x x k x
1- + -…+(-1) +…
2! 4! (2k)!
tg x=sin x*(1/cos x)
1 24 1 1 2 720 1 1 1 3
=11-(12+ )x+(1* +2* +1* )x -(1* +2* +2* +1* )x
6 11 6 120 329 6 120 5040
1 24 1 1 2 720 1 1 1 3
=1-(2+ )x+( + + )x -(1* + + + )x
6 11 3 120 329 3 60 5040
tg30°=tg0.523599=0.5774,
1 24 1 1 2
tg0.523599≈1-(2+ )*0.523599+( + + )*0.523599
6 11 3 120
720 1 1 1 3
-(1* + + + ) *0.523599
329 3 60 5040
tg60°=tg1.047195=1.732
1 24 1 1 2
tg1.047195≈1-(2+ )* 1.047195+( + + )* 1.047195
6 11 3 120
720 1 1 1 3
-(1* + + + ) *1.047195
329 3 60 5040
因为ctg x=cos x/sin x
2 4 2k
x x k x
cos x= 1- + -…+(-1) +…
2! 4! (2k)!
1 1 1 1
a =1, a = , a = , a = , …, a = ,
1 2 2 24 3 720 2 (2k)!
1 1
=
sin x 3 5 2k-1
x x k-1 x
x- + -…+(-1) +…
3! 5! (2k-1)!
1 6 1 120
b =1, b = = , b = = ,
1 2 1 5 2 1 1 19
1- 1- +
3! 3! 5!
1 5040
b = = ,
3 1 1 1 797
1- + -
3! 5! 7!
1
b =
n 2 4 2k
x x k x
1- + -…+(-1) +…
2! 4! (2k)!
ctg x=cos x*(1/sin x)
6 1 120 1 6 1 2 5040 1 120 1 1 3
=11-(1 +1* )x+(1* + * +1* )x -(1* + * +1* +1* )x
5 2 19 2 5 24 797 2 19 24 720
6 1 120 3 1 2 5040 60 1 1 3
=1-( + )x+( + + )x -( + + + )x
5 2 19 5 24 797 19 24 720
ctg30°=ctg0.523599=1.732
ctg0.523599=
6 1 120 3 1 2 5040 60 1 1 3
=1-( + ) *0.523599+( + + ) *0.523599 -( + + + ) *0.523599
5 2 19 5 24 797 19 24 720
ctg60°=ctg1.047195=0.5774
ctg1.047195=
6 1 120 3 1 2 5040 60 1 1 3
=1-( + ) *1.047195+( + + ) *1.047195 -( + + + ) *1.047195
5 2 19 5 24 797 19 24 720
根据级数的除法定理，
例如，设把下列两个幂级数相除：
3 5 2k-1
x x k-1 x 2k
sin x=x- + -…+(-1) +o(x )
3! 5! (2k-1)!
2 4 2k
x x k x 2k+1
cos x= 1- + -…+(-1) +o(x )
2! 4! (2k)!
例如：tg x=sin x/cos x
根据级数的除法定理，
1 1
=
cos x 2 4 2k
x x k x
1- + -…+(-1) +…
2! 4! (2k)!
k (2k)! k (2k)!
(-1) -(2k+1) (-1)
2k 2k 2k
k x x x
= (-1) -
(2k)! k (2k)!
(-1)
2k
x
2 4 2k
x x k x
= 1- + -…+(-1) +…+
2! 4! (2k)!
-2! 4! -6! (2k!) 2! 4! k (2k)!
1* * * *(-…+(-1) +（2k+1）(1- + -…+(-1) +…
2 4 6 2k 2 4 2k
x x x x x x x
2! 4! k (2k)!
= 1- + -…+(-1) +…+
2 4 2k
x x x
tg x=sin x/cos x
k (2k)! k (2k)!
(-1) -(2k+1) (-1)
2k-1 2k 2k 2k
k-1 x x x x
(-1) [ (-1) - ]
(2k-1)! (2k)! k (2k)!
(-1)
2k
x
2k-1 2 4 2k
x x x x x k x
=(x- + -…+(-1) +…)*[ 1- + -…+(-1) +…+
3! 5! (2k-1)! 2! 4! (2k)!
-2! 4! -6! k (2k!) 2! 4! k (2k)!
1* * * *(-…+(-1) +（2k+1）(1- + -…+(-1) +…
2 4 6 2k 2 4 2k
x x x x x x x
2! 4! k (2k)!
= 1- + -…+(-1) +…+
2 4 2k
x x x
例如：
tg30°=tg0.523599=0.5774,
cos30°=cos0.523599=0.866,
1/cos0.523599=1.15473
2 4
0.523599 0.523599
1/cos0.523599≈ 1- + -…+
2! 4!
-2! 4! 2! 4!
1* * +5*(1- + )
2 4 2 4
0.523599 0.523599 0.523599 0.523599
-2! 4!
1* *
2 4
0.523599 0.523599
≈1.300309
sin30°=sin0.523599=0.5
tg0.523599≈1.300309*0.5=0.65
例如：ctg x=cos x/sin x
根据级数的除法定理，
1 1
=
sin x 3 5 2k-1
x x k-1 x
x- + -…+(-1) +…
3! 5! (2k-1)!
k (2k-1)! k-1 (2k-1)!
(-1) -(2k) (-1)
2k-1 2k-1 2k-1
k-1 x x x
= (-1) -
(2k-1)! k-1 (2k-1)!
(-1)
2k-1
x
3 5 2k-1
x x k-1 x
=x- + -…+(-1) +…
3! 5! (2k-1)!
-3! 5! -7! k-1 (2k-1)! 3! 5! k (2k-1)!
x* * * (-…+(-1) +（2k）(x- + -…+(-1) +…
3 5 7 2k-1 3 5 2k-1
x x x x x x x
-3! 5! k-1 (2k-1)!
x * …((-1) )
3 5 2k-1
x x x
ctg x=cos x/sin x
k-1 (2k-1)! k-1 (2k-1)!
(-1) -(2k)* (-1)
2k 2k-1 2k-1 2k-1
k x k-1 x x x
(-1) [ (-1) - ]
(2k)! (2k-1)! k-1 (2k-1)!
(-1)
2k-1
x
3 5 2k-1 3 5 2k-1
x x k-1 x x x k-1 x
=(x- + -…+(-1) +…)*[ x- + -…+(-1) +…+
3! 5! (2k-1)! 3! 5! (2k-1)!
-3! 5! -7! k-1 (2k!-1) 3! 5! k-1 (2k-1)!
x* * * (-…+(-1) +（2k）(x- + -…+(-1) +…
3 5 7 2k-1 3 5 2k-1
x x x x x x x
-3! 5! k-1 (2k-1)!
x * *…((-1) )
3 5 2k-1
x x x
例如：
ctg30°=ctg0.523599=1.732,
sin0.523599=0.5,
1/sin0.523599=2,
3 5
0.523599 0.523599
1/sin0.523599≈0.523599- + -…+
3! 5!
-3! 5! 3! 5!
0.523599* * +4*(0.523599- + )
3 5 3 5
0.523599 0.523599 0.523599 0.523599
-3! 5!
0.523599 * *
3 5
0.523599 0.523599
≈1.87
cos0.523599=0.866,
tg0.523599≈0.866*1.87=1.6192
378.例题1）级数
1 n 2 3 n
= x =1+x+x +x +…+x +… (｜x<1｜)
1-x
自乘，用这方法可得
1 n-1 2 3 n
= nx =1+2x+3x +4x +…+nx +…
2
1-x
2)把级数
1 n 2 3 n n
= (-1)x =1+x+x +x +…+(-1) x +…
1-x
与级数
m 2 3 m
m-1 x x x m-1 x
(-1) =x- + -…+(-1) +… (15)
m 2 3 m
相乘（其中｜x｜<1),给出这样的结果
k-1 k 1 2 k-1 1 1 k
(-1) H x =x-(1+ )x +…+(-1) (1+ +…+ )x +…
k 2 2 k
以后我们将看到[393]，级数（15）的和数是log(1+x)，于是最后的展开式是函数
log(1+x)
1+x
3)求出(z是任意的)
2μ 2
μ z
1= (-1)
2μ 2
2 *(μ!)
提示，利用公式
μ 2 μ 2v!
(C ) =C =
v 2v 2
(v!)
答案：
2v
v 2v!z
1= (-1)
2v 4
2 *(v!)
4)用把级数
n m 1
a x 与 x =
n 1-x
2
逐项相乘的方法证明在373.6）中的恒等式。
5）我们已经知道[367.10(a)]，级数
n 2 3 n
x x x x x
=1+ + + +…+ +…
n! 1! 2! 3! n!
对所有的x值绝对收敛；我们用E(x)表示它的和数。E(x)与E(y)的乘积可以按照级数乘法的规则得到。乘积的普遍项是这样的：
5）我们已经知道[367.10(a)]，级数
n n-1 2 n-2 k n-k n
y x y x y x y x
1* + * + * +…+ * +…+ *1=
n! 1! (n-1)! 2! (n-2)! k! (n-k)! n!
1 k n-k
= x y
k!(n-k)!
n
1 k k n-k (x+y)
= C x y =
n! n n!
这样，我们对于暂时未知的函数E(x)得到对于任何实数x及y的关系式.
E(x)*E(y)=E(x+y)
以后这将给我们已建立E(x)是指数函数的可能性[411.1);比较751].
6)借助于打郎伯尔判别法容易证明，级数
2n 2 4 2n
n x x x n x
C(x)= (-1) =1- + -…+(-1) +…
(2n)! 2! 4! (2n)!
2m-1 3 5 2m-1
m-1 x x x m-1 x
S(x)= (-1) =x- + -…+(-1) +…
(2m-1)! 3! 5! (2m-1)!
对所有的x值绝对收敛。用级数乘法可以证得关系式
C(x+y)=C(x)*C(y)-S(x)*S(y),
S(x+y)=S(x)C(y)+C(x)S(y),
因为实际上S(x)与C(x)不是别的，而是sin x与cos x[392], 所以我们在这儿得以知道这些函数的有名的加法定理.
模拟计算机用下面的公式计算三角函数
同时还可以证明
C(x) S(x)
=C(0.5x+0.5x) S(0.5x+0.5x)= [C(0.5x)*C(0.5x)-S(0.5x)S(0.5x)] [S(0.5x)*C(0.5x)+C(0.5x)*S(0.5x)]
tgx= S(x)/ C(x)
=S(0.5x+0.5x)/C(0.5x+0.5x)=[S(0.5x)*C(0.5x)+C(0.5x)*S(0.5x)]/[C(0.5x)*C(0.5x)-S(0.5x)*S(0.5x)]
ctgx= C(x)/ S(x)
=C(0.5x+0.5x)/S(0.5x+0.5x)=[C(0.5x)*C(0.5x)-S(0.5x)*S(0.5x)]/[S(0.5x)*C(0.5x)+C(0.5x)*S(0.5x)]
例如：
tg30°= tg0.523599= S(0.523599)/ C(0.523599)
=S(0.2617995+0.2617995)/C(0.2617995+0.2617995)
=[S(0.2617995)C(0.2617995)+C(0.2617995)S(0.2617995)]
/[C(0.2617995)C(0.2617995)-S(0.2617995)S(0.2617995)]
=[0.96570.2588+0.2588 0.9657]/[0.25880.2588- 0.96570.9657]
=0.49984632/0.86559905
=0.577457
3
0.2617995
S(0.2617995)=sin 0.2617995=0.2617995- =0.2588
3!
2
0.2617995
C(0.2617995)=cos 0.2617995= 1- =0.9657
2!
7）最后，考虑正项级数
1
ζ(x)= x
n
这级数对x>1收敛[356,2)]并且是黎曼函数ζ。借助于级数乘法。计算它的平方.
我们把所有可能的乘积
1 1 1
* =
x x x
n m (nm)
这样排列，使得在分母中有同一数目k=nm的那些项列在一起，然后把它们结合起来。对应于每一个k，形如
1
x
k
的项供有τ(k)个, [ τ(k)是数k的除数n的个数。参看361.4）-译者]。所以，最后
τ(k)
[ζ(x)]= x
k
373.例题6）
最后作为直接应用亚贝尔变换（10）的一个例子，我们举出恒等式
n n
a x =(1-x) s x
n n
这儿
s =a +a +…+a (n=0,1,2,…)
n 1 2 n
同时可假定｜x｜不仅小于第一个级数的收敛半径R,而且小于1, 实际上，我们有：
i i i+1 n
a x =(1-x) s (x -x )+s x
i i n
n
由此，当n→∞,只要再确定s x →0, 就可得到所求的等式。
n
i
为此目的，在条件下取数r , 于是｜a ｜r ≤L(对i=0,1,2,…而言）并且
0 i
n 1 1 1 n
｜s x ｜≤L(1+ + +…+ )｜x｜
n 2 n
r r r
L ｜x｜ n L n
= ( ) - ｜x｜
1-r r 1-r
最后的表达式在所作假定下显然趋于0.
379.级数乘法定理的推广
麦尔滕（F.Mertens)已经指出，上面那些结果在某一意义下可以推广到更一般的情形下去。
麦尔藤定理，如果级数（A）与（B）收敛，并且至少它们中的一个绝对收敛，则展开式（14）成立。
证明，比方说，设级数（A）绝对收敛，即级数（A*）收敛, 把第k条对角线上的项结合起来，令
c =a b +a b +…+a b +a b
k 1 k 2 k-1 k-1 2 k 1
而
C =c +c +…+c
k 1 2 k
于是需要证明C →AB
k
首先，不难看出
C =a B +a B +…+a B +a B
k 1 k 2 k-1 k-1 2 k 1
如果令
B =B-β
m m
(其中余式β →0，当m→0时)，则和数C 可改写成这样：
m k
C =A B-γ
k k
其中
γ =α β +α β +…+α β +α β
k 1 k 2 k-1 k-1 2 k 1
因为
A →A
k
所以整个问题就归结为证明关系式limγ =0
k
我们这样分解数k成为两项：k=p+q, 使得p与q两项都与k同时无限增大, （例如，当k是偶数时可令
p=q=k/2
或者当k是奇数时令
k-1
p=
2
k+1
q= )。
2
由此，表达式γ 可分成两部分
k
α β +α β +…+α β
1 k 2 k-1 p q+1
与
α β +α β +…+α β
p+1 q p+2 q-1 k 1
因为β →0，所以给定ε>0, 即可找到这样的下标M，使得｜β｜<ε, 只要m>M,
m
并且变量β 是有界的，即
m
｜β ｜<ε
m
只要m>M, 并且变量β 是有界的，即｜β ｜≤L, 不管m是怎样的下标。
m m
另一方面，级数（A*）收敛。于是对于ε>0可以找到这样的下标N，使得
｜a ｜+｜a ｜+…+｜a ｜<ε
n+1 n+2 n+s
只要n>N（对于任何s）。 此外，永远有
｜a ｜+｜a ｜+…+｜a ｜≤K（K=常数）
1 2 n
如果假定k那么样的大，使得p>N与q>M,那么，由此可推出不等式
｜α β +α β +…+α β ｜<ε(｜a ｜+｜a ｜+…+｜a ｜)≤K*ε
1 k 2 k-1 p q+1 1 2 n
｜α β +α β +…+α β ｜<L(｜a ｜+｜a ｜+…+｜a ｜)<L*ε
p+1 q p+2 q-1 k 1 p+1 p+2 k
于是
｜γ ｜<(K+L)*ε
k
这就完成了我们的证明, 用例子来说明定理的应用，我们回到上目中的问题4）。现在可以看出，哪儿提到的等式在级数.
n
x a x
n
的收敛区间的端点x=±R也成立，如果R<1并且级数在这端点上一般地是收敛的（哪怕是非绝对收敛也行）的话。我们指出，如果级数（A）与（B）二者都是非绝对收敛，那么就不能保证级数（14）的收敛性。作为例子，使把下面的级数[我们在370，2中已知，它是非绝对收敛的]自乘一次；
n-1
(-1) 1 1 1
(-1) =1- + -…+(-1) +…
n 2 3 n
在这情形下
k-1 1 1
c =(-1) ( + +…+
k 1* k 2 * k-1
1 1
+…+ )
i * k-i+1 k *1
因为括号中的每一项都大于1/k，所以｜c ｜>1（当k>1时）因而级数
k
x c
k
发散[355,6], 可是，如果类似地处理也是非绝对收敛的[370,1)]级数
n-1
(-1)
log2=
n
1 1 n-1 1
=1- + -…+(-1) +…
2 3 n
那么，有
k-1 1 1 1 1
c =(-1) [ + +…+ +…+ ]
k 1k 2(k-1) i*(k-i+1) k*1
k-1 2 1 1
=(-1) (1+ +…+ )
1*k 2 k
这儿，当k增大时，｜c ｜趋于0，单调递减，于是[依莱布尼兹定理，369]级数
k
2
c 仍然是收敛的。它的和数是怎样的，是否等于(log2) ?
k
2
答案是肯定的，它的和数是(log2) , 以后我们要回来将这个问题[411,7)], 附注，在本节的末了，我们要再一次强调：-在无穷级数中——正是绝对收敛级数具有有穷和数的普遍性质。在非绝对收敛级数上，这些性质只是部分地保持着，而且带有附加条件.
第十九部分 数π的计算
详细内容参见菲赫金哥尔茨著1954年版《微积分教程》第二卷第二分册
8.借助于级数作近似计算
396.一般说明
在我们所得到的具体的展开式的例子上，
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