使用插值法公式组成数字电路进行计算的计算机

最新推荐文章于 2024-02-27 17:23:10 发布

科技论坛

最新推荐文章于 2024-02-27 17:23:10 发布

阅读量3k

点赞数

CC 4.0 BY-SA版权

文章标签：单片机

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zhangluan2019/article/details/127699427

使用插值法公式组成数字电路进行计算的计算机
使用插值法公式组成数字电路进行计算的计算机是一种可以使用插值法计算积分值，导数值，函数值的数字计算机，它由按键，液晶显示器，中央处理器组成。按键输入的程序保存在磁带上面，中央处理器在程序的作用下按照牛顿向前插值公式，牛顿向后插值公式，斯特灵插值公式，贝塞尔插值公式，拉格朗日外插法公式进行计算，按照数学计算公式进行编程。
中央处理器由程序语句判断执行电路，程序语句判断控制电路，端口，加法器，减法器，乘法器，除法器，n次方计算器，对数计算器，三角函数计算器构成。
键盘输入的程序按每行保存在磁带中，程序语句判断电路根据键盘输入的程序的关键字判断电路执行相应的操作，例如输入ADD，电路执行加法操作，程序语句判断控制电路根据键盘输入的程序的关键字控制电路的工作，例如输入NIUDUN DIEDAI，电路将上面计算电路执行多次，进行牛顿迭代计算。
它的相关资料下载网址为：
链接: https://pan.baidu.com/s/1426ypZw_bd9NvfazElx3MQ?pwd=pmjn 提取码: pmjn 复制这段内容后打开百度网盘手机App，操作更方便哦
https://photo.baidu.com/photo/wap/albumShare/invite/nsQhGUEoOS?from=linkShare
https://photo.baidu.com/photo/wap/albumShare/invite/xBzDCVctvX?from=linkShare
https://photo.baidu.com/photo/wap/albumShare/invite/KoDqrAArsD?from=linkShare
https://photo.baidu.com/photo/wap/albumShare/invite/wjcLIUupA?from=linkShare
链接:https://pan.baidu.com/s/1giJmPpB2iaq2fJY259XVBw?pwd=9ug8
提取码:9ug8
链接:https://pan.baidu.com/s/1l7d4UX3hNFhFlUYvLIjtAQ?pwd=7ocu
提取码:7ocu
https://www.aliyundrive.com/s/5Uxz1AsL7G5
微云文件分享:插值法数字计算机下载地址:https://share.weiyun.com/5nwXzVag
https://115.com/s/sw6qrr833u5?password=b453#
插值法数字计算机
访问码：b453
https://kdocs.cn/join/ge5wqfb?f=101

第一部分使用插值法公式组成数字电路进行计算的计算机
该计算器首先通过晶振产生32768HZ的谐振方波信号，再经过分频电路将这个方波信号的频率降低为100HZ,，即周期为0.01秒，再将这个100HZ的信号接入到按键的公共端，按键共有60个，它们的一端接到一起，另外一端分别接到倍频器上。相当于这些按键并联在一起，当某个按键被按下时，100HZ的信号就会接入到倍频器上，经过倍频后，频率变为1HZ，
为什么按键上面的频率是100HZ，这是因为100HZ的频率，周期是1毫秒，通常使用者按下按键的时间在1毫秒左右，所以，只有这个频率的信号才会在按下按键时输入到后级电路中。键值计算电路由十进制转二进制电路组成，当有数字键按下时，对应的数字按键输出端输出对应的数值。数值按键的输出端接上或门，或门两两相接，最后输出一个或门，当有任何计算符号按键按下时，或门输出高电平，或门后面接上计数器，计数器记录按键按下的次数，当有按键按下时，计数器将对应的次数输入到加法器，加法器给键值乘以10，100，1000，等倍数。当连续按2次按键时，需要用乘法器给键值乘以10，连续按下3次按键时，需要用乘法器给键值乘以100，依次类推。所有数值按键的输出端连接到一起，输出到计算符号电路，进行计算。计算符号编码电路产生对应计算符号的编码，输送给计算符号按键电路。用计算符号按键输入计算符号±×÷,cos,sin,ln,log,等，

当RS触发器的输入端R,S都是1时，触发器保持输出端没有变化。利用这个特点，当按键输入高电平1时，电路输出高电平1给存储器，当按键断开输入低电平0时，RS触发器仍然给存储器输入1，当清零键按下时，RS触发器的S端输入0，触发器给存储器输入0，存储器清零。

当有按键按下时RS触发器Q输出1， Q 输出0，按下清零键以后，RS触发器Q端输出0， Q 端输出0
按键编码器产生二进制编码，每个编码对应一个按键。
当数字键1，按下时，这个与门输出0000001给后面计算电路，所有按键存储器后面两两之间接上或门，或门后面再接上或门，最后接上计数器，当按键按下时，计数器变为1，对应的存储器输出对应键值。当按键按下第二次时，计数器输出2，输出两位数字，当按键按下第三次时，计数器输出3，输出三位数字。
经过两个异或门和一个或门以后输出高电平111111111，这使后面的与门输出按键的数值到寄存器1，
当开始输入时，按清零键，计算机按键输入为0.此时，开始输入字符，将字符输入到寄存器1，

按键输入的程序存储在磁带A上面，超强磁性磁带的基材由50%醋酸酯DAC，50%醋酸酯TAC构成，超强磁性磁带的磁性粉末粘合剂有1%氯乙烯，1%醋酸乙烯共聚体，1%苯乙烯-丁二烯共聚体，1%硝化纤维素。1%纤维素，1%丁腈橡胶，1%丙烯酸酯橡胶，1%无定形聚酯，1%氨酯橡胶，1%聚氨基甲酸乙酯树脂，环氧树脂，密胺树脂，1%醋酸乙烯，1%丙烯酸酯丁基系的软质树脂，超强磁性磁带的磁性粉末分散剂由10ml乙醇，20g尿素，10ml双氧水，10g蔗糖，20g聚乙二醇4000，油酸钾皂试剂20g，黄色色素10g,司盘80试剂10ml，氧化铝10g，氨水50g，大豆油10g，α-烯基磺酸钠5g,十二烷基苯磺酸钠5g,烯丙基磺酸钠5g,二甲苯磺酸钠5g，椰子油脂肪酸渗透二乙醇酰胺6501日化，1%卵磷脂组成，磁性粉末稳定剂有对氯乙烯系粘合剂，使用硬脂酸钡等金属无机盐。磁性粉末防带静电剂是在磁性层内渗入炭黑或石墨等固体导电粉末。超强磁性磁带的磁性粉由二氧化铬，三氧化二铁，铬化铁，氧化镍，氧化钴，氧化钇，镝，二氧化锰。把磁性粉末，粘合剂，增塑剂，稳定剂，分散剂，加入水中，使各个磁性粉末相互溶解到水里，再球磨机混合均匀，最后用刮片涂覆到基材上面。
注意：收音机磁带使用涂着四氧化三铁的硝酸纤维素条，铁芯（铁氧体/羟基铁芯），0.32-0.45mm变压器钢片，线圈（0.08mm漆包线1200-1500匝），放音头间隙0.02mm，工作间隙0.5mm，磷铜萡/黄铜箔，

磁带录音机电路如下：

按键电路如下：

计算机中央处理器CPU电路原理图

程序语句判断电路
程序关键字判断电路，程序关键字判断电路，查询到关键字，并执行该关键字所要求的功能。
程序计算符号判断电路，程序计算符号判断电路，查询到计算符号，并执行该计算符号所要求的功能。
数据判断电路，程序数据判断电路，查询到数据符号，并执行该数据符号所形成的数据。
字符判断电路，程序字符判断电路，查询到字符，并执行该字符的功能。
磁带程序判断执行电路原理图。
语句执行电路，按照语句判断的输出，执行这条语句，输出到CPU端口并执行。

关于数字电路加法器，计数器，分频器的电路可参见《中国集成电路大全》丛书，《中国集成电路大全编写委员会编，国防工业出版社1987年出版.

该计算器首先通过晶振产生32768HZ的谐振方波信号，再经过分频电路将这个方波信号的频率降低为100HZ,，即周期为0.01秒，再将这个100HZ的信号接入到按键的公共端，按键共有60个，它们的一端接到一起，另外一端分别接到倍频器上。相当于这些按键并联在一起，当某个按键被按下时，100HZ的信号就会接入到倍频器上，经过倍频后，频率变为1HZ为什么按键上面的频率是100HZ，这是因为100HZ的频率，周期是1毫秒，通常使用者按下按键的时间在1毫秒左右，所以，只有这个频率的信号才会在按下按键时输入到后级电路中。键值编码电路由二进制编码电路组成，当有按键按下时，对应的按键输出端输出对应的按键编码。每个按键的输出端接上或门，或门两两相接，最后输出一个或门，当有任何计算按键按下时，或门输出高电平，这个或门在和每个按键的输出端接上与门，这些与门在两两之间接上或门，最后一个或门接上按键寄存器。按键寄存器将输入的按键输出保存到磁带寄存器A中，计算机CPU通过算法语言关键字判断语句，计算符号判断电路，中断判断电路，定时器判断电路，数据判断电路，选择性的判断执行磁带存储器A中的按键输入程序。计算机CPU通过执行电路执行上面语句判断电路输出的内容。最后将执行结果通过IO端口输出，并用液晶显示器显示出来。
如果出现PROGRAM BEGIN说明程序开始，与门导通，如果出现空格说明前面是一个关键字，或字符或数据，与门导通。如果出现回车说明前面是一个程序段，需要执行这段程序，与门导通。
关键字比较电路，和每个关键字的代码相互比较，如果代码相同·，执行该关键字的功能。
字符比较电路，和每个字符的代码相互比较，如果代码相同·，执行该字符的功能。
数据比较电路，和每个数据的代码相互比较，如果代码相同·，产生该数据的二进制编码。
磁带程序判断执行电路原理图

磁带程序执行控制电路原理图
出现BSEJS Ⅴ#GONGSHI 时，程序将执行贝塞尔插值法Ⅴ#公式计算电路。
出现NDXQJS LG FANGCHENG B时，程序将执行牛顿向前插值法计算电路算电路。
出现LGLRJS Ⅸ#GONGSHI时，程序将执行拉格朗日反插法公式Ⅸ导数计算电路。

计算机原理图如下：

第二部分插值法计算电路
下面的资料可参见《数值分析》，美国J.B.斯卡勃罗著，陈盖民，余介石译，科学出版社1958年出版。
例1.试求lgπ已知
lg3.141=0.4970679364, lg3.142=0.4972061807, lg3.143=0.4973443810,
lg3.144=0.4974825374, lg3.145=0.4976206498,
解：我们先做出如下的差分表：
2 3
x y=lgx △y △ y △ y
3.141 0.4970679864
0.0001382443
3.142 0.4972061807 -0.0000000440
0.0001382003 0.0000000001
3.143 0.4972063810 -0.0000000439
0.0001381564 -0.0000000001
3.144 0.4974825374 -0.0000000440
0.0001381124
3.145 0.4976206498

这里x=π=3.1415926536，x =3.141,h=0.001,故
0
x-x 3.1415926536-3.141
u= 0 = =0.5926536
h 0.001
u-1=-0.4073464,…依次类推
以这些值代入第20节中的{Ⅰ)式，即得, 第20节中的{Ⅰ)式如下所示
u(u-1) 2 u(u-1)(u-2) 2
φ(x)=φ(x +hu)=g(u)=y +u△y + △ y + △ y +
0 0 0 2! 0 2! 0

   u(u-1)(u-2)(u-3)   4            u(u-1)(u-2)...(u-n+1)   n            
                 △  y   +...+                     △  y       (Ⅰ)
        4!             0             n!                 0       

                                    0.5926536(-0.4073464)(-440)

lgπ=0.4970679364+0.5926536（1382443）+
2
=0.4970679364+0.000819310+0.0000000053=0.4971498727
此结果准确到它的末位数字。
牛顿向前插值法计算电路程序：
PROGRAM BEGIN 程序开始
JISUAN2# 进入JISUAN2#选择电路
DISPLAY ON 计算机液晶显示器显示已知数值
lg3.141=0.4970679364,
lg3.142=0.4972061807,
lg3.143=0.4973443810,
lg3.144=0.4974825374,
lg3.145=0.4976206498,
DISPLAY OFF
NDXQJS LG FANGCHENG B 执行牛顿向前插值法计算电路
MAKEA X0=3.141,X1=3.142,X2=3.143,X3=3.144,X4=3.145,
将方程式的系数用X0,X1,X2,X3,X4存储器存储起来
MAKEB LGX0=0.4970679364,LGX1=0.4972061807,LG2=0.4973443810,LG4=0.4974825374,LG4=0.4976206498,
MAKEC X=3.1415926536计算方程组u,△y的公式是固定公式，对应电路也是固定电路
MAKED H=0.001可以将键盘输入的X0,X1,X2,X3,X4分别代入电路中的寄存器，计算函数值
RUN NDXQJS 与门导通，接通牛顿向前插值法计算电路，开始计算
SAVE JISUAN2# ZU 保存计算中所有JISUAN2#电路寄存器的数据
OUTPUT JISUAN2# 1#IO 将计算电路JISUAN1#寄存器中的数据输送到计算机1#端口
DISPLAY ON 计算机显示器显示计算得到的数值lgx
LGX
DISPLAY OFF 停止显示
PROGRAM END 程序结束

用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的函数，
u(u-1) 2 u(u-1)(u-2) 2
φ(x)=φ(x +hu)=g(u)=y +u△y + △ y + △ y +
0 0 0 2! 0 2! 0

   u(u-1)(u-2)(u-3)   4            u(u-1)(u-2)...(u-n+1)   n            
                 △  y   +...+                     △  y       (Ⅰ)
        4!             0             n!                 0

表示上面公式的电路图如下：

例3.在φ取某些等距值时，椭圆积分

dφ

F(φ)= ∫
2
1-sin φ/2
表C
2 3 4
φ F(φ) △F △ F △ F △ F
21° 0.370634373
0.018070778
22° 0.388705151 0.000059002
0.018129780 0.000002707
23° 0.406834931 0.000061709 0.000000004
0.018191489 0.000002711
24° 0.425026420 0.000064420 -0.000000007
0.018255909 0.000002704
25° 0.443282329 0.000067124
0.018323033
26° 0.461605362
的值给出如下表，求F(22.5°)的值。
解：因为我们所求的函数值介乎两个给定列表值正中央，所以我们使用半数值公式（Ⅴ）。因此可得
2 2 4 4
y +y 1 △ y +△ y 3 △ y +△ y
y= 0 1 - -1 0 + -2 -1
2 8 2 128 2

                                                2     2n           2n                          
    5    △   y   +△  y           [1*3*5...(2n-1)]    △   y   +△  y  
-            -3          -2  +…+(-1)                    -n           -n+1 (Ⅴ)      
  1024            2                 2n                      2    
                                   2  (2n)！

贝赛尔公式的这个重要特殊情况，叫做半数插值公式。
0.406834931+0.425026420 1 0.000061709+0.000064420
F(22.5°)= -
2 8 2

         3     0.00000000004-0.00000000007         
     +          
        128             2

=0.1459306755-0.0000078831=0.415922792
由于表中的差分是完全有规则的并且很快的减小，所以这个结果或许可以准确到末一位数字。
用贝赛尔半数插值Ⅴ#公式计算积分的程序：
PROGRAM BEGIN 程序开始
JISUAN3# 计算机液晶显示器显示积分公式
DISPLAY ON
dφ
F(φ)= ∫
2
1-sin φ/2
DISPLAY OFF
BSEJS Ⅴ#GONGSHI 与门导通，选择贝赛尔半数插值Ⅴ#公式计算电路
MAKEA F(21°)=0.370634373,F(22°)=0.388705151,F(23°)=0.406834931,F(24°)=0.425026420,F(25°)=0.443282329,F(26°)=0.461605362,
用键盘输入积分公式的初始值F(21°)=0.370634373,F(22°)=0.388705151,F(23°)=0.406834931,F(24°)=0.425026420,F(25°)=0.443282329,F(26°)=0.461605362,
MAKEB A=21,B=22,C=,23,D=24,E=25,F=26
计算△y的公式是固定公式，对应电路也是固定电路
MAKEC M=23.5
RUN BSEJS Ⅴ#GONGSHI 与门导通，接通贝赛尔半数插值Ⅴ#公式计算电路，开始计算
SAVE JISUAN2# ZU 保存计算中所有JISUAN2#电路寄存器的数据
OUTPUT JISUAN2# 1#IO 将计算电路JISUAN1#寄存器中的数据输送到计算机1#端口
DISPLAY ON 计算机显示器显示计算得到的数值F(23.5°)
DISPLAY OFF 停止显示
PROGRAM END 程序结束
2 2 4 4
y +y 1 △ y +△ y 3 △ y +△ y
y= 0 1 - -1 0 + -2 -1
2 8 2 128 2

                                                2     2n           2n                          
    5    △   y   +△  y           [1*3*5...(2n-1)]    △   y   +△  y  
-            -3          -2  +…+(-1)                    -n           -n+1 (Ⅴ)      
  1024            2                 2n                      2    
                                   2  (2n)！

用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的函数，
数值大小比较电路
两数相减，得到的数据进行平方计算，如果是负数，平方后得到正数，开方后得到正数，加上原来的负数，输出0。
两数相减，得到的数据进行平方计算，如果是正数，平方后得到正数，开方后得到正数，加上原来的正数，输出正数。
如果加法器输出0，或门输出1，与门输出1，状态寄存器A保存1，证明两数相减得到的是负数，反之，则是正数
当23.5处于23，24之间时，两个与门输出不同的电平，当两个异或门输入不相同电平时，异或门输出高电平，也就是说，当23.5处于23和24之间时，23和24末端的与门输出高电平，

第二部分拉格朗日公式，反插法计算电路
下面的资料可参见《数值分析》，美国J.B.斯卡勃罗著，陈盖民，余介石译，科学出版社1958年出版。
例2.下表给出与某些x值相对应的概率积分的值，问x为何值时等于该积分等于1/2?
2
2 x -x
∫ e dx x
√π 0

               0.4846555                   0.46 
               0.4937452                   0.47                            
               0.5027498                   0.48             
               0.5116683                   0.49

解：命概率积分的值为y，则
y=1/2=0.5,x =0.46,x =0.47,x =0.48,x =0.49
0 1 2 3
将这些值代入（Ⅸ），则得
(0.5-0.4937452)(0.5-0.5027498)(0.5-0.5116683)
x= *0.46+
(0.4846555-0.4937452)(0.4846555-0.5027498)(0.4846555-0.5116683)

        (0.5-0.4846555)(0.5-0.5027498)(0.5-0.5116683)      
                                                         *0.47+

(0.4937452-0.4846555)(0.4937452-0.5027498)(0.4937452-0.5116683)

       (0.5-0.4846555)(0.5-0.4937452)(0.5-0.5116683)     
                                                         *0.48+

(0.4937452-0.4846555)(0.5027498-0.4937452)(0.5027498-0.5116683)

          (0.5-0.4846555)(0.5-0.4937452)(0.5-0.5027498)    
                                                         *0.49

(0.5116683-0.4846555)(0.5116683-0.4937452)(0.5116683-0.5027498)

62548*27498*116683         153445*27498*116683

=- 0.46+ 0.47+
90897180943270128 9089790046179231

153445*62548*116683        153445*62548*27498

                 *0.48+                       *0.49

1809439004689185 27012817923189185

=-0.0207787+0.157737+0.369928-0.0299495=0.476937
准确到六位小数的真值为0.476936, 注：这个问题的计算除非有计算机可用，否则应该用对数来做。
(y-y )(y-y )…(y-y )
1 2 n
φ(y)= x +
(y -y )(y -y )…(y -y ) 0
0 1 0 2 0 n

     (y-y   )(y-y   )...(y-y   )               
         0      2       n

                               x    +

(y -y )(y -y )…(y -y ) 1
1 0 1 2 1 n

   (y-y   )(y-y   )...(y-y   )               
       0      1       n

                               x    +…+

(y -y )(y -y )…(y -y ) 2
2 0 2 1 2 n

   (y-y   )(y-y   )...(y-y   )               
       0      1       n-1

                               x        (Ⅸ)

(y -y )(y -y )…(y -y ) n
n 0 n 1 n n-1

用拉格朗日反插法公式Ⅸ计算导数的程序：
PROGRAM BEGIN 程序开始
JISUAN3#
选择保存计算数据到JISUAN3#寄存器，同时标志寄存器保存3，说明今天进行了3次计算
DISPLAY ON 计算机液晶显示器显示积分公式
2
2 x -x
∫ e dx x
√π 0

               0.4846555                   0.46 
               0.4937452                   0.47                            
               0.5027498                   0.48             
               0.5116683                   0.49

DISPLAY OFF
LGLRJS Ⅸ#GONGSHI 与门导通，选择拉格朗日反插法公式Ⅸ导数计算电路
MAKEA x0=0.46,x1=0.47,x2=0.48,x3=0.49
用键盘输入积分公式的自变量x的各个初始值 x0=0.46,x1=0.47,x2=0.48,x3=0.49
MAKEB y=0.5,y0=0.4937455,y1=0.4937452,y2=0.5027498,y3=0.5116683
用键盘输入积分公式的y的各个初始值 y=0.5,y0=0.4937455,y1=0.4937452,y2=0.5027498,y3=0.5116683
RUN LGLRJS Ⅸ#GONGSHI
计算x的公式是固定公式，对应电路也是固定电路，与门导通，接通拉格朗日反插法公式Ⅸ导数计算电路，开始计算。
SAVE JISUAN2# ZU 保存计算中所有JISUAN2#电路寄存器的数据
OUTPUT JISUAN2# 1#IO 将计算电路JISUAN1#寄存器中的数据输送到计算机1#端口
DISPLAY ON 计算机显示器显示计算得到的数值x
X
DISPLAY OFF 停止显示
PROGRAM END 程序结束
(y-y )(y-y )…(y-y )
1 2 n
φ(y)= x +
(y -y )(y -y )…(y -y ) 0
0 1 0 2 0 n

     (y-y   )(y-y   )...(y-y   )               
         0      2       n

                               x    +

(y -y )(y -y )…(y -y ) 1
1 0 1 2 1 n

   (y-y   )(y-y   )...(y-y   )               
       0      1       n

                               x    +…+

(y -y )(y -y )…(y -y ) 2
2 0 2 1 2 n

   (y-y   )(y-y   )...(y-y   )               
       0      1       n-1

```
                               x        (Ⅸ)
```
(y -y )(y -y )…(y -y ) n
n 0 n 1 n n-1
用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的函数，

第三部分克莱姆法则计算电路
下面的资料可参见《工程数学》，林益编，高等教育出版社2003年出版
用克莱姆法则计算线性方程组的程序：
PROGRAM BEGIN 程序开始
JISUAN2#
选择保存计算数据到JISUAN2#寄存器，同时标志寄存器保存2，说明今天进行了2次计算
DISPLAY ON 计算机液晶显示器显示线性方程组
2x +x -5x +x =8
1 2 3 4

x   -3x   -6x  =9                                
    1    2     4

{
2x -x +2x =-5
2 3 4

  x   +4x   -7x   +6x   =0    
   1      2    3     4

DISPLAY OFF
KLMJS SIYUAN FANGCHENG B
与门导通，选择线性方程组的克莱姆法则计算电路
MAKEB a11=2,a12=1.a13=-5,a14=1,b1=8
将方程式的系数用a11,a12,a13,a14,b1存储器存储起来
MAKEB a21=1,a22=-3.a23=0,a24=-6,b2=9
MAKEB a31=0,a32=2.a33=-1,a34=2,b3=-5
MAKEB a41=1,a42=4.a43=-7,a44=6,b4=0
计算方程组D,D1,D2,D3,D4的公式是固定公式，对应电路也是固定电路, 可以将键盘输入的a11=2,a12=1.a13=-5,a14=1,b1=8分别代入电路中的寄存器，计算函数值。
RUN KLMJS与门导通，接通克莱姆法则计算电路，开始计算
SAVE JISUAN2# ZU 保存计算中所有JISUAN2#电路寄存器的数据
OUTPUT JISUAN2# 1#IO将计算电路JISUAN2#寄存器中的数据输送到计算机1#端口
DISPLAY ON计算机显示器液晶显示计算得到的方程组的根X1,X2,X3,X4
X1,X2,X3,X4
DISPLAY OFF 停止显示
PROGRAM END 程序结束
计算过程如下所示：
2 1 -5 1

  1    -3     0     -6

D=
0 2 -1 2

  1     4     -7    6               

 -3   0    -6      1     0     -6     1    -3    -6      1    -3    0

=2 2 -1 2 -1 0 -1 2 -5 0 2 2 -1 0 2 -1

 4    -7    6     1      -7     6      1   4     6      1    4    -7

=2(18+84-24-42)-1(-6-6+14)-5(12-6+12-8)-1(-14+3+4)
=72-50-2+7=27
8 1 -5 1

    9    -3     0     -6

D = =81
1 -5 2 -1 2

   0      4     -7    6               

    2    8     -5     1

    1    9     0     -6

D = =-108
2 0 -5 -1 2

   1     0     -7    6               






    2    1     8      1

    1    -3     9     -6

D = =-27
3 0 2 -5 2

    1     4    0    6       

    2    1     -5     8

    1    -3     0     9

D = =27
4 0 2 -1 -5

    1     4     -7    0               

    a    a     a     a
     11    12    13   14  

    a    a     a     a

D= 21 22 23 24

    a    a      a    a
     31   32     33   34

    a    a      a    a              
     41    42    43   44                

    b    a     a     a
     1    12    13   14  

    b    a     a     a

D = 2 22 23 24
1
b a a a
3 32 33 34

    b    a      a    a              
     4    42    43   44     





    a    b     a     a
     11    1    13   14  

    a    b     a     a

D = 21 2 23 24
2
a b a a
31 3 33 34

    a     b     a    a              
     41    4    43   44   


     a    a     b     a
     11    12    1   14  

    a    a     b     a

D = 21 22 2 24
3
a a b a
31 32 3 34

    a    a      b    a              
     41    42    4   44    

    a    a     a     b
     11    12    13   1  

    a    a     a     b

D = 21 22 23 2
4
a a a b
31 32 33 3

    a    a      a    b              
     41    42    43   4

于是方程组唯一的解为
D
1
x = =3
1 D

         D       
           2

x = =-4
2 D

         D       
           3

x = =1
3 D

         D       
           4

x = =1
4 D
用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的函数，

第五部分线性方程组的误差计算电路

下面的资料可参见《数值分析》，美国J.B.斯卡勃罗著，陈盖民，余介石译，科学出版社1958年出版
例1，解方程组
3.21x-4.86y=5.73
2.13x+8.63y=12.65
假定式中所有数值都是已经末尾的，并且只准确到两位小数。
解，用行列式解这些方程

 5.73      -4.36              
                    
 12.65      8.63        49.4499+55.1540

x= = =2.828
3.21 -4.36 27.7023+9.2868

 2.13      8.63        


 3.21      5.73              
                    
 2.13      12.65        40.6065-12.2049

y= = =0.768
36.9891 36.9891
在继续进行以前，我们先把x和y的值代入给定的方程组中，看看它们能否满足这些方程，可以看出：它们都能满足。因为给定方程只准到小数两位，
所以误差△a ,△b 等等就不会大于0.005，根据上面的公式(4)得
1 1

a △x+b △y=△c -(x△a +y△b )
1 1 1 1 1
{ (4)
a △x+b △y=△c -(x△a +y△b )
2 2 2 2 2
因此，求x与y的可能误差的方程是
3.21△x-4.36△y=0.005+(2.828+0.768)(0.005)= 0.005(1+2.828+0.768)=0.0230,
2.13△x-8.63△y=0.005+(2.828+0.768)(0.005)=0.0230,
于是
0.023 -4.36

 0.023      8.63        0.0230   1    -4.36

△x= = =0.0081
37(注：36.9891≈37) 37 1 8.63

 3.21      0.023              
                    
 2.13      0.023        0.0230   3.21    1

△y= = =0.0067
37(注：36.9891≈37) 37 2.13 1
这些误差影响x的二位小数及y的第三位小数。因此我们可取x=2.83及y=0.768，并理会到两数的末位数字都稍微有些出入。如果在给定的方程中，把第一个方程的y的系数变号，然后再解这个方程，则可求得△x=0.0033及△y=0.00084。
计算线性方程组的解的误差程序：
PROGRAM BEGIN 程序开始
JISUAN2#
选择保存计算数据到JISUAN2#寄存器，同时标志寄存器保存2，说明今天进行了2次计算
DISPLAY ON 计算机液晶显示器显示线性方程组
3.21x-4.86y=5.73
2.13x+8.63y=12.65
DISPLAY OFF
HLSWCJS ERYUAN FANGCHENG B
与门导通，选择线性方程组的克莱姆法则计算电路
MAKEB a11=3.21,a12=-4.86,b1=5.73, 将方程式的系数用a11,a12,b1存储器存储起来
MAKEC a21=2.13,a22=-8.63,b2=12.65，
可以将键盘输入的误差系数M=0.005,代入公式进行计算
GET WUCHA M=0.005
RUN HLSWCJS 与门导通，接通行列式误差计算电路，开始计算
SAVE JISUAN2# ZU保存计算中所有JISUAN2#电路寄存器的数据
OUTPUT JISUAN2# 1#IO 将计算电路JISUAN1#寄存器中的数据输送到计算机1#端口
DISPLAY ON 计算机显示器显示计算得到的方程组的根X，Y,△X,△Y,
X，Y,△X,△Y,
DISPLAY OFF 停止显示
PROGRAM END 程序结束
用数字电路加法器，乘法器，除法器，各种数值表示上面的函数，

第六部分插值法
下面的资料可参见《数值分析》，美国J.B.斯卡勃罗著，陈盖民，余介石译，科学出版社1958年出版。
差分、插值法的牛顿公式
. 15.引言
插值法曾经被定义为：在表格的各行之间读数的一种技术；在初等数学中，这个名词常常用来表示一种过程，从函数的一组给定的或列表的数值当中，来计算函数的中间值。然而插值法的一般问题，无论如何要比这个广泛得多。在高等数学中，我们常常会处理一些函数，它们的解析形式，或者是完全不知道的，或者是具有某种性质（复杂性或其他）以至难以照所需的运算进行。不论那一种情况，都需要把给定函数换成另一个很容易处理的函数。这种把一个给定函数用另一个简单的函数来代替或表达的运算，便构成了插值法这个名词的广义含义。
注：作者认为这种用简单函数去代替复杂者的过程，可以叫做“解析置换法”（analytical replacement)或“函数置换法”（functional substitution)原理。因此，插值法的一般问题乃是：
借助于函数自变量取各个定值时所得的一组函数给定值，去表达一个已知的或未知的函数，使之成为预先选定的形式。
譬如，令y=f(x)表示这样一个函数，它在自变量x取x ,x ,x ,…,x 等值时，
0 1 2 n
具有y ,y ,y ,…,y 等各函数值；
0 1 2 n
又作一个较简单的任意函数φ(x)，使它在x ,x ,x ,…,x 各点，
0 1 2 n
与f(x)具有相同的值，这时若在给定的全区间上，把f(x)用φ(x)来代替，那么这个过程便构成了插值法，而函数φ(x)便是一个插值法公式。函数φ(x)可以有各种各样的形式。当φ(x)是一个多项式时，用φ(x)表达f(x)的过程，称为抛物线的或多项式的插值法，当φ(x)是一个有限项三角级数时，这过程便是三角的插值法。同样，φ(x)可以是指数函数，勒让得多项式，贝塞尔函数等等级数。在实用问题中，我们常常选择一个最简单的函数作为φ(x)，来表达在所考虑区间上的给定函数。由于多项式是最简单的函数，所以我们常常采用多项式作为φ(x)，并且几乎所有的插值标准公式都是多项式的公式。如果给定函数具有周期性，那么最好用三角级数去表达它。要证明用多项式或三角级数去代替一个给定函数是正确的这件事，就有赖于维尔斯德拉斯在1885年所证明的两个定理，注：一个实变数的所谓任意函数的解析表达法：这两个定理的证明，见菲赫金哥茨(Фвггевгольд)微积分学教程第二十章，709页（1955年中译本三卷三分册，597-600页）。
这两个定理可以叙述如下：
Ⅰ.任何一个在区间(a,b)内连续的函数，可以用一个多项式在该区间内表达到任何需要的准确程度；即能够找到一个多项式P(x)，对区间(a,b)内任何x值，都能令│f(x)-P(x)│<ε成立，这里ε是任何预先制定的正量；
Ⅱ.以2π为周期的连续函数，都能用一个具有
g(x)=a +a sinx+a sin2x+…+a sinnx+b cosx+b cos2x+…+b cosnx
0 1 2 n 1 2 n
形式的有限项三角级数把它表达出来；即对于所考虑的区间内的一切x值都有│f(x)-g(x)│<δ的关系，这里δ是任何预先制定的正量。

这两个定理的几何意义是：在画出y=f(x),y=f(x)+ε及y=f(x)-ε的图形之后，便可找出一个多项式或有限项三角级数，不论ε多么小，对所有在a与b之间的x值，都能使它的图形始终保持在y=f(x)+ε和y=f(x)-ε所画成的区域之内（见图1）。所以这些定理的意义就是说：一个给定函数可以被多项式或有限项三角级数所代替而且能达到任何需要的准确程度。
16.差分
倘若用y ,y ,y ,…,y 表示任何y=f(x)的一组函数值，
0 1 2 n

那么y -y ,y -y ,y -y ,…,y -y 就叫做函数y的一阶差分，
1 0 2 1 3 2 n n-1

将这些差分用△y ,△y ,△y 等等表示，则得
0 1 2

△y =y -y ， △y =y -y ，…,△y =y -y ，△y =y -y ，
0 1 2 1 2 1 n-1 n n-1 n n+1 n

                                        2       2

这些一阶差分之间的差，叫作二阶差分，它们用△ y ,△ y 等等表示，即
0 1
2
△ y =△y -△y =y -2y +y
0 1 0 2 1 0

2
△ y =△y -△y =y -2y +y
1 2 1 2 2 0
……………………………

最低0.47元/天解锁文章