【学习总结】【超图理论】第四章 一些特殊的超图

【学习总结】
参考文献：
Bretto A. Hypergraph theory[J]. An introduction. Mathematical Engineering. Cham: Springer, 2013.

4.1 区间超图(Interval Hypergraphs)

令 V 是一个在 V 上具有全序 ≤ 的非空集，也就是说，对于任何两个不同的元素 x，y ∈ V，x ≤ y 或 y ≤ x。 这对 (V ; ≤) 称为完全或线性有序集。 给定任意两个不同的元素 x, y ∈ V ，我们定义闭区间 [x; y] 或 I (x; y) 为集合 {z ∈ V |x ≤ z ≤ y}。

（ps.设(A，≤)是偏序集，如果(A，≤)中的关系“≤”满足条件：对于任意的a，b∈A，a≤b或b≤a至少有一个成立，那么就称关系≤为序关系，称A为在这个关系下的全序集(也称有序集) ）

如果在 V 上存在一个全序使得对于每个超边 e ∈ E，存在两个不同的顶点 x, y ∈ V 使得 e = I (x; y)。 一个超图（无环）是一个区间超图，如果它的顶点可以用 1, 2, 3, . . , n 来标记，使得每个超边由具有连续标签编号的顶点组成，即超图 H = (V ; E) 是一个区间超图，如果它的顶点可以完全排序，使得每个超边 e ∈ E 在这个顺序中引入一个区间。

引理 4.1 (MANTEL 1907) 如果 Γ = (V ; E) 是一个没有三角形的简单图，那么
$$|E|\le \frac{|V{|}^2}{4}$$

定理 4.1 如果 H 是连通有序超图，则：
(1) H是2-可着色的。
(2)$\alpha (H)\ge \frac{|V(H)|}{2}$
(3)如果 H 是无三角形的，那么$|E(H)|\le \frac{|V(H){|}^2}{4}$

定理 4.2（Helly 定理） 假设 e1, e2, . . . , ek 是 $R^d$ 的凸子集的有限族，且令 d < k。 如果这些集合的 d + 1 的每个交集都是非空的，那么整个族都有一个非空的交集，即：
$$\bigcap _{j=1}^k{e}_j\ne \varphi .$$

定理 4.3 如果 H = (V; E) 是有序超图，则 H 具有 Helly 性质（参见第 2 章，第 2.2 节）。

4.2 单模超图（幺模超图 Unimodular Hypergraphs）

4.2.1 单模超图和超图的差异

4.2.1.1 单模超图

如果矩阵的任何方子矩阵的行列式等于 -1、0 或 1，则该矩阵是完全单模的。因此，完全单模矩阵的系数等于 -1、0 或 1（因为任何 1 × 1 方子矩阵都有一个行列式 等于 -1、0 或 1）。因此，完全单模矩阵的任何子矩阵都是完全单模的。
如果超图的关联矩阵是完全单模的，则该超图是单模的。 显然，完全单模矩阵的转置也是完全单模的。 同样的结论适用于完全单模矩阵的任何子矩阵。 有

引理 4.2 单模超图的对偶以及任何子超图或部分超图都是单模超图。

4.2.1.2 超图的差异

我们试图将超图的顶点集划分为两个类，以便理想情况下每个超边在两个类中包含相同数量的顶点。 差异描述了与这种理想情况的偏差。

形式上：令 {−1; 1} 是具有两个元素的乘法群，它是域$F_3=\frac{Z}{3Z}$ 的乘法群。 满映射
$$\begin{gathered} \chi :V(H)\to \pm 1 \\ x\to \chi (x) \end{gathered}$$
是 2-着色，其中 -1 和 +1 是颜色。 这种着色将 V (H) 划分为两个颜色类别 ${\chi }^{-1}(-1)和{\chi }^{-1}(1)$。 对于任何超边 e ∈ E(H) 定义：
$$\chi (e)=\sum _{x\in e}\chi (x).$$
H 与 χ 的差异和 H 的差异分别定义为
disc(H,χ)=max⁡e∈E∣χ(e)∣disc(H)=min⁡χ:V(H)→±1disc(H,χ)disc(H,χ) = \max_{e \in E} |χ(e)|\\ disc(H) = \min_{χ:V(H) →{±1}}disc(H,χ)disc(H,χ)=