【学习总结】【超图理论】第一章超图：基本概念

OMG_TheyKillKenny

已于 2023-04-20 16:26:01 修改

阅读量1.1w

点赞数 6

CC 4.0 BY-SA版权

分类专栏：超图理论文章标签：图论线性代数

于 2021-09-21 21:15:17 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/zhangle_zhang9/article/details/120394457

超图理论专栏收录该内容

6 篇文章

订阅专栏

本文介绍了超图的基本概念，包括定义、示例及代数表示等内容。重点探讨了超图的关联矩阵、邻接矩阵和拉普拉斯矩阵，并讨论了超图熵等概念。此外，还涉及了超图之间的相似度衡量方法。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

【学习总结】
参考文献：
Bretto A. Hypergraph theory[J]. An introduction. Mathematical Engineering. Cham: Springer, 2013.

可以阅读以下文献，一个在工程领域建模的示例
https://doi.org/10.1016/j.comcom.2022.08.016

1.1 超图的定义

（1）超图

在有限集合 $V$ 上用 $H=(V;E = (e_{i})_{i∈I})$ 表示的超图H是 $V$ 的集合族 $e_{i})_{i∈I}$ ，（ $I$ 是有限的索引集），称为超边。有时 $V$ 用 $V (H)$ 表示， $E$ 用 $E (H)$ 表示。

令 $e_{j})_{j∈J},J⊆ I$ 是 $E=(e_{i})_{i∈I}$ 的超边的一个子族，我们用 $V(U_{j∈J}e_{j})$ 表示属于 $U_{j∈J}e_{j}$ 的顶点集合，但有时我们用 $e$ 表示 $V (e)$ 。例如，有时我们用 $e \cap V ‘$ 来表示 $V (e) \cap V ‘, V ‘ \subseteq V$ 。

如果 $⋃i∈Iei=V\bigcup_{i∈I}^{}e_{i}=V$
则超图没有孤立顶点。如果其中顶点 $x$ 是孤立的： $x∈V∖⋃i∈Ieix∈V\setminus\bigcup_{i∈I}^{}e_{i}$

（2）相邻、关联

如果存在包含两个顶点的超边，则超图中的两个顶点是相邻的(adjacent)。特别是，如果 ${\{x\}}$ 是超边，则 $x$ 与其自身相邻。如果超图中的两个超边的交点不为空，则它们是关联的( incident)。

（3）导出子超图、子超图、部分超图

详见原文。

（4）度数、秩、K-正则超图、K一致超图

详见原文。

1.2 超图示例

在这里插入图片描述

1.3 超图的代数定义

1.3.1矩阵、超图和熵

（1）关联矩阵和邻接矩阵

设 $H = (V; E)$ 是一个超图，
$V =\{v_{1}, v_{2},, . . . , v_{n},\} 和 E = (e_{1}, e_{2}, . . . , e_{m})$
并且
$⋃i∈Iei=V\bigcup_{i∈I}e_{i} = V$
（没有孤立的顶点）。那么 H 有一个 $n \times m$ 关联矩阵 $A = (a_{ij})$ 其中：
$aij=⎱0其他⎰1如果vi∈eja_{ij} = ^{\lmoustache 1 如果v_{i}∈e_{j}}_{\rmoustache 0 其他}$
这个矩阵也可以写成一个 $m \times n$ 矩阵。例如图 1.4 左侧超图的关联矩阵是 3 × 5 矩阵：
在这里插入图片描述

对偶矩阵，图1.4右侧，是上面矩阵的转置。也很容易看出，任何导出子超图的关联矩阵（H的子超图，部分超图）是H的关联矩阵的子矩阵。设 $H = (V; E)$ 是一个超图。 H 的邻接矩阵 A(H) 定义如下：
它是一个正方形矩阵，其行和列由 H 的顶点索引，对于所有 $x, y \in V$ , $x \neq = y$ 每一条 $a_{x,y} = |{e ∈ E : x, y ∈ e}| 并且 a_{x,x} = 0$ 。
这个矩阵是对称的，所有的 $a_{x,y}$ 都属于 N。它也是多重图的矩阵。例如图 1.4 中超图 H 的邻接矩阵为：
在这里插入图片描述

（2）拉普拉斯矩阵

定义 $D(x)=∑y∈Vax,yD(x)=\sum_{y∈V}a_{x,y}$ . H 的拉普拉斯矩阵是这样的矩阵：
$L(H) = D-A(H),其中D=diag(D(x_{1}), D(x_{2}), ...,D(x_{n})).$

（3）超图熵

我们可以通过以下方式定义代数上的超图熵(algebraic hypergraph entropy) $I (H)$ ：
$I(H)=−∑i=1nλilog2λiI(H)=-\sum_{i=1}^{n}\lambda_{i}log_{2}\lambda_{i}$

1.3.2 超图的相似度和度量

（1）相似度函数

令 $H=(V;E=(e_{i})_{i∈I})和H‘=(V;E’=(e'_{i})_{i∈I})$ 是没有空超边的超图。
令 $f_{P(E)}和f_{P(E')}$ 是映射
$fP(E):P(E)→P(E)⊆P(P(V))f_{P(E)}:P(E)\to P(E) \subseteq P(P(V))$
和
$fP(E′):P(E′)→P(E′)⊆P(P(V))f_{P(E')}:P(E')\to P(E') \subseteq P(P(V))$
假设 $fp(E)(A)=ϕf_{p(E)}(A)=\phi$ 表示 $A=ϕA=\phi$ 和 $fp(E’)(A)=ϕf_{p(E’)}(A)=\phi$ 表示 $A=ϕA=\phi$ 我们现在通过以下方式定义相似度函数：
$P(E)×P(E′)→R+P(E)\times P(E') \to R^{+}$
$(A≠ϕ,B≠ϕ)⊢→s(A;B)=∣fP(E)(A)∩fP(E′)(B)∣∣fP(E)(A)∪fP(E′)(B)∣(A\ne\phi, B\ne \phi) \vdash\to s(A;B) = \frac{|f_{P(E)}(A)\cap f_{P(E')}(B)|}{|f_{P(E)}(A)\cup f_{P(E')}(B)|}$
有时我们会使用以下简化：
$fE:E→P(E)f_{E}:E \to P(E)$
$e⊢→fE(e)=fP(E)({e})e\vdash\to f_{E}(e) = f_{P(E)}(\{e\})$

我们现在介绍如下相似度函数：
$E×E′→R+E\times E' \to R^{+}$
$\vdash\to s(e, e') = \frac{|f_{P(E)}(e)\cap f_{P(E')}(e')|}{|f_{P(E)}(e)\cup f_{P(E')}(e')|}$

（2）示例

详见原文。

1.3.2.1 正核和相似度

详见原文。

1.3.2.2 超图的度量和相似度

命题设 H = (V ; E) 是在 E 上的单射映射的超图（即 $f (e) = f (e^{'}) =\Rightarrow e = e^{'}$ ）并且 s 是一个相似度函数，那么： $s~(e,e′)=1−s(e,e′)是一个度量\widetilde{s}(e, e') = 1- s(e, e')是一个度量$ 。
证明
详见原文。