[Ynoi2014]人人本着正义之名（题解）

我们不打代码，我们只是思想的搬运工。

题意

[Ynoi2014]人人本着正义之名

背景
略
题目描述
你需要帮珂朵莉维护一个长为n的01序列a，有m个操作：
1 l r : 把区间[l,r]的数变成0
2 l r : 把区间[l,r]的数变成1
3 l r : [l,r-1]内所有数a[i],变为a[i]与a[i+1]按位或的值,这些数同时进行这个操作
4 l r : [l+1,r]内所有数a[i],变为a[i]与a[i-1]按位或的值,这些数同时进行这个操作
5 l r : [l,r-1]内所有数a[i],变为a[i]与a[i+1]按位与的值,这些数同时进行这个操作
6 l r : [l+1,r]内所有数a[i],变为a[i]与a[i-1]按位与的值,这些数同时进行这个操作
7 l r : 查询区间[l,r]的和

输入格式
第一行两个数表示n和m
第二行n个数表示序列a
之后m行，每行三个数opt l r，表示是哪一种操作以及操作对应的区间

输出格式
对于每个查询操作输出一行一个数表示答案

输入输出样例
输入 #1 复制
5 5
0 1 0 0 1
3 2 5
5 2 5
2 2 2
6 1 5
7 1 5
输出 #1 复制
1
说明/提示
Idea：nzhtl1477，Solution：nzhtl1477，Code：nzhtl1477，Data：nzhtl1477

序列每次的样子：
0 1 0 0 1
0 1 0 1 1
0 0 0 1 1
0 1 0 1 1
0 0 0 0 1
0 0 0 0 1

对于30%的数据，n,m<=1000

对于50%的数据，n,m<=100000

对于另外20%的数据，操作和序列均随机生成

对于100%的数据，n,m<=1000000

题意

这里不给出代码，只给出思想。

思想来想大部分来自同机房的HYY巨佬。我一直陷入了差分的狂潮，HYY巨还是巨呀。

我们把每个点按照位置为权值插入到平衡树里面，但是我们发现了一件事情，我们可以把一串1或0当成区间节点插入进去。

然后我们继续推规律：

$00111000$

我们对整个区间操作4一下，变成了：$00011000$

我们发现长度为$1$的串$l++$，长度为$0$的串$r++$。

也就是说对于操作4，区间内的所有整块的$1$ $l++$，$0$的块 $r++$，而对于边界，举举例子就知道如果坐落在块中，那么是完全没有影响的，也就是边界独立处理，而且为了答案的正确，我们需要把边界改一下，缩到一个区间节点上，因为我们不可能从中间开始维护。

其他的操作也可以类似这样子，当然边界特判自己手推吧。。。

我们中间的打打标记就行了，对于记录信息0或1的，分别有不同的两个标记，$l$加多少，$r$加多少，然后对于我们每个子树，都有三个信息，就是子树内有多少个$0$区间、多少个$1$区间和子树和，这些都是可以平衡树解决的。

但是区间推平怎么做呢？

首先，如果边界坐落在了整块中间（不是边界），如：11100 中的[2,4]变成1，那么我们就看看坐落的块是不是同个颜色的，是就直接包含这个整块，如果不是，就把这个区间分成两个点，然后把这个操作的范围拿出来，而且对于每个操作最多新建两个点，所以$log$暴力维护。

当然边界问题还有个特例，就是如果坐落在了边界的话，且边界坐落的整块与修改值相反，那么还要把隔壁的块添加进来。（下一步你就知道为什么了。）

然后我们就遍历这个树，把这个树中的节点合并成一个大的区间节点（这就可以解释为什么在边界的话，我们要跳到隔壁了，因为我们要保证相邻的两个区间维护的值一定是不同的。）。

但是这个操作不是$O(n)$的吗？

你想啊，每次操作最多加两个区间，也就是从头到尾区间的个数加上多出来的，都是$O(n)$级别的，我们每合并一次就没了一个，那么这个操作总时间就是最多$O(n)$了，均摊$O(1)$，但是因为还有平衡树的操作，所以是$O(logn)$的。

两个操作都是如此。

完结撒花。

你在想桃子。

有没有注意到一点，就是当进行$3,4,5,6$操作时，一些长度为$1$的区间减一下就每了！

那么就有区间合并了？

那么我们要怎么去找这些区间呢。

我们首先要知道如何找到一个区间左右区间的所在的位置，那么对于每个区间，我们都可以维护一个$head,tail$指针，表示左右区间的下标，然后对于每个合并、添点、分裂、删点，我们都可以极快的维护，对时间复杂度不造成影响。

那么我们对于每个节点，再维护一个子树内区间长度最小值，然后看看最小值是不是为$0$，为$0$就删除，并且把他左右区间合并，并且再继续看看新的最小值是不是$0$。

而对于左右区间合并，我们要把左右区间节点分离出原来的子树，然后合并，再添回去，而且，删除的区间和这两个区间维护的值相反，所以这两个区间的长度不会减少的，不用担心这两个区间也是被删除的对象，不过需要注意的是这两个区间节点不一定在$[l,r]$范围内（虽然影响应该不是很大）。。。

但是你这样子我可以卡到$nlogn$呀。

我们继续证明均摊。

因为每次合并少$1$个区间，而我们单次合并的复杂度是$O(logn)$，且是$O(n)$级别的区间个数，那么总复杂度最多$O(nlogn)$，均摊$log$。

那么我们的时间复杂度总的就是$O(nlogn)$。

注意：此篇题解建议用fhq treap实现，以及这里n,m同阶。

这里没有代码，这道题目码量太大，有错请在评论区指出，谢谢O(∩_∩)O。骗吃骗喝骗评论