DFT

本文介绍了一种使用C++与OpenCV库进行灰度图像傅里叶变换的方法。通过对图像进行预处理,如填充和尺寸调整,接着进行傅里叶变换并应用log(x+1)变换增强对比度,最后通过图像显示处理结果。
#include <iostream>
#include <opencv2/opencv.hpp>
#include <sstream>
using namespace std;
using namespace  cv;
int main()
{
	string filename = "C:/Users/Administrator/Desktop/标准测试图片/dota/big432000.jpg";
	Mat img = imread(filename, IMREAD_GRAYSCALE);
	if (img.empty())
	{
		return -1;
	}
	int cols = getOptimalDFTSize(img.cols);
	int rows = getOptimalDFTSize(img.rows);
	//复制制作边界
	Mat padded;
	copyMakeBorder(img, padded, 0, rows - img.rows, 0, cols - img.cols, BORDER_CONSTANT, Scalar::all(0));
	Mat planes[] = { Mat_<float>(padded), Mat::zeros(padded.size(), CV_32F) };
	//进行傅里叶变换
	Mat ComplexImg;
	merge(planes,2, ComplexImg);
	dft(ComplexImg, ComplexImg);
	//log(x+1) 进行变换
	split(ComplexImg, planes);
	magnitude(planes[0], planes[1], planes[0]);
	Mat mag = planes[0];
	mag += Scalar::all(1);
	log(mag, mag);
	mag = mag(Rect(0, 0, mag.cols&-2, mag.rows&-2));
	int cx = mag.cols / 2;
	int cy = mag.rows / 2;
	Mat temp;
	Mat q1 = mag(Rect(0, 0, cx, cy));
	Mat q2 = mag(Rect(cx, 0, cx, cy));
	Mat q3 = mag(Rect(0, cy, cx, cy));
	Mat q4 = mag(Rect(cx, cy, cx, cy));

	q1.copyTo(temp);
	q4.copyTo(q1);
	temp.copyTo(q4);

	q2.copyTo(temp);
	q3.copyTo(q2);
	temp.copyTo(q3);

	//归一化结果
	normalize(mag,mag, 0, 1, NORM_MINMAX);
	//现在可以看看变换之后的结果
	imshow("DFT", mag);
	waitKey(0);
  	return 0;
}

### 离散傅里叶变换在数据处理和信号处理中的应用 离散傅里叶变换(Discrete Fourier Transform, DFT)是一种重要的数学工具,在数据处理和信号处理领域具有广泛的应用。通过将时间域上的信号转换到频率域上,DFT能够揭示信号的频率组成及其特性[^1]。 #### 基本原理 DFT的核心思想在于分解一个有限长度的序列成一组正弦波分量。对于输入信号 \( x[n] \),其对应的DFT表示为: \[ X[k] = \sum_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j 2 \pi k n / N} \] 其中 \( X[k] \) 表示第 \( k \) 频率分量的幅值和相位信息,\( j \) 是虚数单位,而 \( N \) 则是采样点的数量。这一过程使得我们可以分析原始信号中不同频率成分的能量分布情况[^5]。 #### 数据处理中的作用 在实际的数据处理场景下,DFT被用来提取特征、降噪以及压缩数据等操作。例如图像处理方面,利用快速傅立叶变换(Fast Fourier Transform, FFT),可以高效实现二维DFT运算来获取图片的空间频率信息[^2]。这不仅有助于理解图像结构特点,还能够在一定程度上去除高频噪声干扰或者保留低频细节部分完成平滑效果。 另外值得注意的是,当面对非平稳随机过程时,传统的DFT难以满足需求;此时引入短时傅里叶变换(STFT)[^4]便显得尤为重要——通过对整个时间段内的大样本分割成若干个小窗口分别做FFT从而获得局部化的时间—频率联合表征形式。 #### 信号处理中的意义 于通信系统而言,无论是模拟还是数字化传输过程中都不可避免存在失真现象发生。借助DFT技术可有效评估信道状态并采取相应补偿措施改善质量。比如OFDM(Orthogonal Frequency Division Multiplexing) 技术即充分利用了IDFT/DFT配对关系来进行子载波调制解调工作流程设计当中[^3]。 ```python import numpy as np def dft(x): """Compute the discrete Fourier Transform of the 1D array x""" N = len(x) n = np.arange(N) k = n.reshape((N, 1)) M = np.exp(-2j * np.pi * k * n / N) return np.dot(M,x) # Example usage: signal = np.array([1, 2, 3, 4]) transformed_signal = dft(signal) print(transformed_signal) ```
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