算法-二分答案-优快云博客

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二分答案

二分答案是一种高效解决最优化问题的算法策略，适用于答案区间明确的问题，尤其当问题难以直接求解，但容易验证某个值是否可行时。本讲义将详细介绍二分答案的基本原理、实现方法及应用示例。

基本原理

二分答案的核心思想是利用二分查找技术在确定的区间内搜索最优解。算法通过迭代缩小答案的可能范围，每次迭代基于中值测试的结果调整搜索范围，直到找到满足条件的最优解或最接近解。

步骤详解

确定边界

定义可能答案的最小值和最大值作为搜索的初试边界。

计算中值

在当前的搜索边界内，计算中间值作为候选解。

验证中值

通过一个逻辑判断函数检查中间值是否满足条件。

调整边界
重复以上步骤

直到上界和下界重合或满足精度要求，结束搜索。

示例

示例1：寻找平方根

假设我们需要计算一个非负整数的平方根的整数部分：

#include <iostream>
using namespace std;

int sqrt(int x) {
    if (x == 0 || x == 1) return x;
    int left = 1, right = x, ans = 0;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (mid <= x / mid) { // 防止溢出
            left = mid + 1;
            ans = mid; // 最后一个使得mid*mid<=x的点
        } else {
            right = mid - 1;
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    int number = 10;
    cout << "平方根的整数部分是: " << sqrt(number) << endl;
    return 0;
}

示例2：让我们再通过一个实际示例来进一步阐释二分策略的应用：寻找满足条件的最小容量。

问题描述

假设有一个工厂需要在最短的时间内完成一批产品的生产。每个产品都需要一个机器进行加工，每台机器的处理时间是固定的。但是，你可以设置机器的容量，即每台机器一次可以处理多少产品。设置的容量越大，单个产品的处理时间就越长。我们的任务是确定能在不超过指定总时间内完成所有产品加工的最小容量。

示例：最小容量的二分查找

给定：

一组机器的处理时间：times = [2, 3, 5]（每台机器处理一个产品所需的基础时间）。
总产品数：products = 10。
最大总时间：maxTime = 15。

我们需要找到一个容量 x，使所有机器加工这 x 个产品所需的总时间不超过 maxTime。

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

// 检查给定容量 x 是否可以在 maxTime 时间内完成
bool canFinish(vector<int>& times, int products, int maxTime, int x) {
    long long time = 0;
    for (int t : times) {
        time += (x + t - 1) / t; // 每台机器处理 x 个产品所需的时间
        if (time > maxTime) return false; // 如果总时间超过了限制，则不可行
    }
    return time <= maxTime;
}

int findMinimumCapacity(vector<int>& times, int products, int maxTime) {
    int left = 1, right = products, ans = -1;
    while (left <= right) {
        int mid = left + (right - left) / 2;
        if (canFinish(times, products, maxTime, mid)) {
            ans = mid; // 找到一个可能的容量
            right = mid - 1; // 尝试找一个更小的容量
        } else {
            left = mid + 1; // 增大容量以尝试满足条件
        }
    }
    return ans;
}

int main() {
    vector<int> times = {2, 3, 5}; // 每台机器处理一个产品的基础时间
    int products = 10; // 总产品数量
    int maxTime = 15; // 最大总时间
    cout << "所需的最小容量为: " << findMinimumCapacity(times, products, maxTime) << endl;
    return 0;
}

分析

这个示例中，我们通过二分搜索尝试不同的容量 x，使用辅助函数 canFinish 来检查给定的容量是否能在限定时间内完成任务。这种方法允许我们高效地确定满足条件的最小容量，展示了二分答案在实际应用中如何解决最优化问题。

这个例子展示了如何使用二分答案来解决实际的资源分配和时间管理问题，强调了算法在寻找最优解方面的效率和实用性。二分答案方法在处理具有单调性质的问题时特别有效，可以显著减少尝试和错误的次数，快速找到解决方案。

应用场景