2021 CSP-S 初赛知识补天

前面的话

近几年的初赛，尤其是题型变成选择后，对计算机基础知识的要求不那么高，反而对程序理解、数学知识之类的东西是愈加重视。所以，我在这两方面选取了几类不是那么好做的题型，分享做法。

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特征方程

这种题目通常是给出二项递推式，形如 $cf(n)=af(n-1)+bf(n-2)$，然后让你写出，在 $n$ 不断增大的过程中，$f(n)$ 趋近于多少。

我以前的做法是强算到 $f(7)$ 左右，然后选一个最接近的答案。但是这样不仅耗时，而且正确性也不保证。

接下来介绍一种特征方程的解法。

你不需要知道原理，只要知道怎么用就行了。——Rayleigh666

其步骤如下：

1. 将原式移项得到：$cf(n)-af(n-1)-bf(n-2)=0$；
2. 我们把 $f(n)=x^2,f(n-1)=x,f(n-2)=1$ 带入得到 $c{x}^2-ax-b=0$；
3. 设这个一元二次方程的解为 $x_1,x_2$，则有 $f(n)=A{x}_1^{n-1}+B{x}_2^{n-1}$；
4. 然后我们把初始已知的两个 $f(n)$ 带入可求得 $A,B$ 的值；
5. 然后可以得出 $f(n)$ 的通项式，从而将无穷大带入可以得到答案。

接下来我们举个例子。

已知 $f(1)=1,f(2)=\frac{5}{6},3f(n+1)=5f(n)-2f(n-1)$，当 $n$ 增大时，$f($