2020牛客暑期多校训练营A National Pandemic(树链剖分)

A National Pandemic

题目描述

输入描述:

输出描述:

示例1

输入

1
5 6
1 2
1 3
2 4
2 5
1 1 5
3 4
2 1
1 2 7
3 3
3 1

输出

3
9
6

题目大意

有一个国家，它的城市分布可以表现为一棵树。其中爆发了疫情，我们定义$f(n)$表示$n$号城市的疫情严重性。有以下3种操作：
1、蔓延，给定一个$x,w$。对于所有城市$y$，其严重程度会加上$w-dist(x,y)$，其中$dist(x,y)$表示两个城市之间的距离。可以为负数。
2、消除，给定一个$y$，将$y$城市的$f(y)$更改为$min(0,f(y))$。
3、询问，给定一个$x$，输出$f(x)$。
如果出现负数，可以忽略。现对于每个询问，要求输出答案。

分析

分析算法，显然，在一棵树上进行加减询问的，就是树剖。

那么我们对于每个操作进行分析。

• $op1$
  发现有$dist$这个函数，我们想在树上求距离，是用$lca$做的。不妨我们将每个城市的变换展开：
  设$x,y,lca$的深度为$dep[x],dep[y],dep[lca]$。
  $f(y)+=w-dist(x,y)$
  $=w-(dep[x]+dep[y]-2dep[lca])$
  $=w-dep[x]-dep[y]+2dep[lca]$
  我们可以发现，对于一个$op1$而言，$w-dep[x]$是固定的，而对于每个城市$y$而言，$dep[y]$也是固定的。因此不妨我们开一个变量存储：
  $A+=w-dep[x],B++;$
  $A$ 存所有关于$x$的效果，$B$存$dep[y]$的次数。
  这样对于每次询问或者消除，我都可以通过查询之前存下的所有蔓延的累加效果。所以，如果要用$f(y)$时，我们可以这样算：
  $f(y)=A-B\ast dep[y]+2\sum (dep[lca])$
• $op2$
  对于这个操作，由于我们要考虑是正还是负，所以对于$min(0,f(y))$我们也存储一下。
  不妨搞一个$C$数组，存入每次$y$的消除结果。因此有：
  $C_y+=min(0,f(y))-f(y)$
  之后无论是算答案，还是继续，只要在上面那串后面加上$C_y$即可。即：
  $f(y)=A-B\ast dep[y]+2\sum (dep[lca])+C_y$
• $op3$
  这个经过上面的简化之后，它就简单了。如上，我已经写出了求解的公式。

那现在有个问题吼，怎么搞$lca$了？不妨画个图试试。

图中红色点为$x$，其他节点中的数字为和$x$的$lca$的深度。
绿色路径是红色节点到根的路径，那么可以发现，每个节点与$x$的$lca$的深度是这个节点到根的路径上的绿色边的数量。那么我们只要搞下树剖，然后线段树维护一下就可以了，见代码。

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define debug cerr<<"debug";
#define ll long long
#define ls i<<1
#define rs i<<1|1
using namespace std;
const int MAXN=1e5+10;
int siz[MAXN],ldfn[MAXN],rdfn[MAXN],dep[MAXN],tot,A,B;
int son[MAXN],fa[MAXN],id[MAXN],top[MAXN],val[MAXN],C[MAXN];
vector<int> vec[MAXN];
void predfs(int pos)
{
	siz[pos]=1;son[pos]=0;
	for(int i=0;i<vec[pos].size();i++){
		int s=vec[pos][i];
		if(s==fa[pos]) continue;
		fa[s]=pos;dep[s]=dep[pos]+1;
		predfs(s);siz[pos]+=siz[s];
		if(siz[s]>siz[son[pos]]) son[pos]=s;
	}
}//树剖板子
void dfs(int pos,int tp)
{
	top[pos]=tp;ldfn[pos]=++tot;id[tot]=pos;
	if(son[pos]) dfs(son[pos],tp);
	for(int i=0;i<vec[pos].size();i++){
		int s=vec[pos][i];
		if(s==son[pos]||s==fa[pos]) continue;
		dfs(s,s);
	}rdfn[pos]=tot;
}//树剖板子++
struct tree{
	int l,r;
	ll inc,sum;
}tr[MAXN<<2];
void build(int i,int l,int r)
{
	tr[i].l=l;
	tr[i].r=r;
	tr[i].inc=0;
	if(l==r){
		tr[i].sum=0;
		return;
	}
	int mid=(l+r)>>1;
	build(i<<1,l,mid);
	build(i<<1|1,mid+1,r);
	tr[i].sum=tr[i<<1].sum+tr[i<<1|1].sum;
}
void add(int i,int a,int b,int c)
{
	if(tr[i].l==a&&tr[i].r==b){
		tr[i].inc+=c;
		return;
	}
	tr[i].sum+=(b-a+1)*c;
	int mid=(tr[i].l+tr[i].r)>>1;
	if(b<=mid) add(i<<1,a,b,c);
	else if(a>mid) add(i<<1|1,a,b,c);
	else{
		add(i<<1,a,mid,c);
		add(i<<1|1,mid+1,b,c);
	}
}
ll query(int i,int a,int b)
{
	if(tr[i].l==a&&tr[i].r==b)
		return tr[i].sum+tr[i].inc*(b-a+1);
	if(tr[i].inc){
		tr[i].sum+=tr[i].inc*(tr[i].r-tr[i].l+1);
		tr[i<<1].inc+=tr[i].inc;
		tr[i<<1|1].inc+=tr[i].inc;
		tr[i].inc=0;
	}
	int mid=(tr[i].l+tr[i].r)>>1;
	if(b<=mid) return query(i<<1,a,b);
	else if(a>mid) return query(i<<1|1,a,b);
	else return query(i<<1,a,mid)+query(i<<1|1,mid+1,b);
}//线段树区间加减板子
void CP(int x,int y,ll val)//CP change path
{
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]>dep[top[y]]) swap(x,y);
		add(1,ldfn[top[y]],ldfn[y],val);y=fa[top[y]];
	}if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	if(x==y) return;//这里是边转点，因此lca不能算
	add(1,ldfn[x]+1,ldfn[y],val);
}//更改绿色边
int GPS(int x,int y)//GPS get path sum
{
	ll ret=0;
	while(top[x]!=top[y]){
		if(dep[top[x]]>dep[top[y]]) swap(x,y);
		ret+=query(1,ldfn[top[y]],ldfn[y]);y=fa[top[y]];
	}if(dep[x]>dep[y]) swap(x,y);
	if(x==y) return ret;//同
	ret+=query(1,ldfn[x]+1,ldfn[y]);
	return ret;
}//查询路径上的绿色边
int main()
{
	int t,n,m,p,x,y,k,op;scanf("%d",&t);
	while(t--){
		scanf("%d%d",&n,&m);
		for(int i=0;i<=n;i++) vec[i].clear();
		for(int i=1;i<n;i++){
			scanf("%d%d",&x,&y);
			vec[x].push_back(y);
			vec[y].push_back(x);
		}tot=0;dep[1]=0;
		predfs(1);dfs(1,1);
		build(1,1,tot);A=B=0;
		memset(C,0,sizeof(C));
		while(m--){
			scanf("%d",&op);
			if(op==1){
				scanf("%d%d",&x,&k);
				A+=k-dep[x];B++;
				CP(1,x,2ll);//这里将上面的式子中的*2放到每个式子里做了
			}
			if(op==2){
				scanf("%d",&x);
				ll ans=0;
				ans+=GPS(1,x);
				ans=A-B*dep[x]+ans+C[x];
				C[x]+=min(0ll,ans)-ans;
			}
			if(op==3){
				scanf("%d",&x);
				ll ans=0;ans+=GPS(1,x);
				ans=A-B*dep[x]+ans+C[x];
				printf("%lld\n",ans);
			}
		}
	}
}

END

不会吧不会吧，不会还有人没有习惯阴间函数名吧，不会吧不会吧……