【数论】 欧几里德 扩展欧几里德 乘法逆元 挑战程序P115

欧几里德（辗转相除法）

求最大公约数

int gcd(int a, int b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    return gcd(b, a%b);
}

优化版本

int gcd(int a,int b)
{
     return b ? gcd(b,a%b) : a;
}

扩展欧几里德

求方程ax + by = gcd(a,b)的x,y的整数解;

——若a,b互质，则方程ax + by = 1有整数解（或者ax + by = 1 和 gcd(a,b)= 1 为充要条件）【裴蜀定理】

——如果ax + by = 1，且gcd(a,b) = 1,则方程有整数解【裴蜀定理】

——如果ax + by = 1，但是gcd(a,b) ！= 1，则方程ax + by = 1没有整数解【裴蜀定理】

证明：裴蜀定理（别称：贝祖定理）

证明链接

方法一：

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int gcd(int a, int b, int& x, int& y)//x是求得的解,返回的值是a,b的最大公约数
{
    int d = a;
    if(b != 0)
    {
        d = gcd(b, a%b, y, x);
        y -= (a/b)*x;
    }
    else
    {
        x = 1;
        y = 0;
    }
    return d;
}

int main()
{
    int x,y,a,b;
    while(cin>>a>>b)
    {
        gcd(a,b,x,y);
        while(x <= 0)//使得x为正数【很重要】
            x += b;
        cout<<x<<endl;
    }
}

方法二：

#include <iostream>

using namespace std;

int ans_x, ans_y;//ans-x为所求方程的一个解

int gcd(int a,int b)//扩展欧几里德，返回的是a,b的最大公约数
{
    if(b == 0)
    {
        ans_x = 1;
        ans_y = 0;
        return a;
    }
    int g = gcd(b,a%b);
    int temp = ans_x;
    ans_x = ans_y;
    ans_y = temp - (a/b)*ans_x;
    return g;
}


int main()
{
    int a,b;
    while(cin>>a>>b)
    {
        gcd(a,b);
        while(ans_x <= 0)//使得ans_x为正数【很重要】
            ans_x += b;
        cout<<ans_x<<endl;
    }

    return 0;
}

乘法逆元

求解除法取模问题 (a/b)%m

【同余定理】a ≡ b (mod n) 的含义是“ a 和 b 关于模 n 同余”，即 a mod n = b mod n。其充要条件是: a-b 是 n 的整数倍（算法竞赛入门经典第二版P315）

【乘法逆元定义】a*x ≡ 1 (mod n) 的解 x 是 a 关于模 n 的逆（类似于实数运算中“倒数”的概念），即若 a*b%x = 1 则  a和b关于x互为逆元。它的充要条件是： gcd(a,x) = 1；

求解逆元 ：

转化为扩展欧几里德 即 ax + by = 1,且 gcd(a,b) = 1 则称 a 和解 x 关于 b 互为逆元, b 和解 y 关于 a 互为逆元。

接着就能用扩展欧几里德求a或者b的逆元。

求解除法取模问题 (a/b)%m：

除以一个数取模等于乘以这个数的逆元取模（逆元相当于倒数）

证明：设b关于m的逆元为b'，即b * b' % m = 1  或者 b * b'≡ 1(mod m)。

可得(a / b) % m =  (a / b) % m * 1 = (a / b) % m * (b * b' % m)  = (a / b) *(b * b') % m = a * b' %m