从农夫过河问题理解顶点覆盖、团和独立集

农夫过河问题

经典的农夫过河问题，相冲突的生物之间有连线，每次携带走某几个生物后，要保证剩下的没有连线存在。问船的容量最小是多少呢？

视频：【Numberphile】农夫过桥问题和阿尔昆数

直观的思路就是，找最少需要几只手盖住顶点后能消除所有连线（即最小覆盖）：

但有时只有最小顶点覆盖个位置是不够的。

如下面的例子，最小顶点覆盖显然是1，把狼盖住就行了：

但船若只有1个额外位置是不行的，一个来回之后就卡住了：

这就需要再额外增加一个位置，也就是最小顶点覆盖数+1个位置。这时只要总是把狼带在身边，就能用剩下的位置一个个运送其它生物了。

所以最多只需要最小顶点覆盖数+1个位置，而有时只需最小顶点覆盖数个位置即可。关于确定什么时候需要+1是NP难的问题。

农夫过河问题可以归纳成顶点覆盖问题。下面引入顶点覆盖的具体概念，并与团和独立集作对比。