C++介绍差分

差分简介

差分是一种用于高效处理区间增减操作的数据结构或算法技巧，常见于数组操作。其核心思想是通过维护相邻元素的差值，将区间操作转化为单点操作，从而降低时间复杂度。

差分数组的构建

给定原数组 A，其差分数组 D 定义为：

• D[0] = A[0]（若数组从0开始）。
• D[i] = A[i] - A[i-1]（i > 0）。

示例代码：

vector<int> buildDiffArray(const vector<int>& A) {
    int n = A.size();
    vector<int> D(n);
    D[0] = A[0];
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        D[i] = A[i] - A[i-1];
    }
    return D;
}

区间增减操作

对原数组 A 的区间 [l, r] 进行增减操作时，只需修改差分数组 D 的两个端点：

• D[l] += val：表示从 l 开始的所有元素增加 val。
• D[r+1] -= val（若 r+1 在数组范围内）：表示从 r+1 开始的所有元素取消之前的增加。

示例代码：

void applyDiffOperation(vector<int>& D, int l, int r, int val) {
    D[l] += val;
    if (r + 1 < D.size()) {
        D[r+1] -= val;
    }
}

还原原数组

通过差分数组 D 还原原数组 A 时，只需计算前缀和：

• A[0] = D[0]。
• A[i] = A[i-1] + D[i]（i > 0）。

示例代码：

vector<int> restoreArray(const vector<int>& D) {
    int n = D.size();
    vector<int> A(n);
    A[0] = D[0];
    for (int i = 1; i < n; ++i) {
        A[i] = A[i-1] + D[i];
    }
    return A;
}

应用场景

1. 多次区间修改：如对数组进行大量区间增减操作，差分可将每次操作的时间复杂度从 O(n) 降至 O(1)。
2. 离线查询：适用于所有修改完成后才需要查询结果的场景。

示例问题

假设需要对数组 [1, 2, 3, 4, 5] 的区间 [1, 3] 增加 2：

1. 构建差分数组 [1, 1, 1, 1, 1]。
2. 应用操作后差分数组变为 [1, 3, 1, 1, -1]。
3. 还原原数组得到 [1, 4, 5, 6, 5]。

差分技术广泛应用于算法竞赛和数据处理中，尤其适合需要高效处理动态区间操作的场景。