quaternion in eigen

Representations

eigen中quaternion的构造函数为Quaternion (const Scalar &w, const Scalar &x, const Scalar &y, const Scalar &z)，注意w在前。然而在内部存储时eigen将四元数的w放在最后，例如通过Eigen::Vector4d q = q_AB.coeffs();访问时，q中的最后一个元素才是w。

在论文中，比较常见的四元数分为两种hamilton quaternion和JPL quaternion。主要的区别在于前者是右手系$ij=k$，后者是左手系$ij=-k$，eigen中的四元数为hamilton quaternion，然而有点不一样的是四元数内的顺序定义不一样，即w在最后。

$Q=p_w+p_xi+p_yj+p_zk \qquad \Longleftrightarrow \qquad Q=p_w+ \textbf p_v$
$\textbf q =\begin{bmatrix}p_x &p_y&p_z&p_w \end{bmatrix}^T$

Product

四元数的乘积具有以下形式，在eigen中直接调用*即可。
$\textbf p \otimes \textbf q = \begin{bmatrix} p_wq_x + p_xq_w + p_yq_z − p_zq_y \\p_wq_y − p_xq_z + p_yq_w + p_zq_x \\p_wq_z + p_xq_y − p_yq_x + p_zq_w \\ p_wq_w − p_xq_x − p_yq_y − p_zq_z \end{bmatrix}$

同时也可以将四元数的乘法写成矩阵的乘法，这里定义四元数的左乘矩阵$[]_L$和右乘矩阵$[]_R$。
$\textbf p \otimes \textbf q = [\textbf p]_L \textbf q = [\textbf q]_R \textbf p$

[q]L