动态规划之最长公共子序列 最长递增子序列

最长公共子序列

最长公共子序列很简单dp[i][j]分别代表str1的第i个字符和str2第j字符 那么如果当前字符相等那么即str1[i]==str2[j]那么dp[i][j]==dp[i-1][j-1]+1如果不等的话就比较麻烦了如果不等dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])意思就是找str1前i-1个元素与str2前j个元素最大的子序列or意思就是找str1前i个元素与str2前j+1

个元素最大的子序列那么我们就有了转移方程 if(str1[i]==str2[j])dp[i][j]==dp[i-1][j-1]+1else(dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1])那么我们求最长公共子序列的模板代码如下

#include<iostream>
#include<cstring> 
using namespace std;
int dp[1000][1000];
string str1,str2;
void LCS()
{
	memset(dp,0,sizeof(dp));
	for(int i=1;i<=str1.length();i++)
	{
		for(int j=1;j<=str2.length();j++)
		{
			if(str1[i-1]==str2[j-1])dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
			else dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
		}
	}
}
int main()
{
	cin>>str1>>str2;
	LCS();
	cout<<dp[str1.length()][str2.length()]<<endl;
 } 

最长递增子序列

对于此问题我们一般有三种解法

slove1：这种方法很好想我们将讲序列排序然后与原序列比较最长公共子序列就是最长递增子序列

因为排序后公共的就说明原来也是递增的那么这道题目就解决了

slove2：我们利用dp的想法dp[i]就表示下标为i的元素那么我们从数列起始开始寻找找到最大的且元素值均小于下标为i的值那么dp[i]就等于这个值+1  下面给出模板代码

#include<iostream>
using namespace std;
int dp[1000];
int n;
int arr[1000];
int LIS()
{
	int ans=1;
	dp[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		int max=0;
		for(int j=1;j<i;j++)
		{
			if(max<dp[j]&&arr[j]<arr[i])
			{
				max=dp[j];
			}
			dp[i]=max+1;
		}
		if(ans<dp[i])
		ans=dp[i];
	}
	return ans;
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	cin>>arr[i];
	cout<<LIS()<<endl;
 } 

slove3：这是一种很奇妙的方法但是要比上面两个方法的时间复杂度要快 我们需要一个辅助数组d首先我们把数组的第一个元素放入d中然后如果数组下一个元素比d的最后一个元素大我们则放入辅助数组的末尾如果小于的话我们找到数组（arr）中第一个大于这个数字的数然后替换掉（这里我们使用基于二分查找的函数lower_bound)最后辅助数组的长度就是所求代码如下

#include<iostream>
#include<algorithm>
#include<map>
using namespace std;
int d[1000],arr[1000];
int n;
int slove()
{
	d[1]=arr[1];
	int len=1;
	for(int i=2;i<=n;i++)
	{
		if(d[len]<arr[i])d[++len]=arr[i];
		else
			{
				int j=lower_bound(d+1,d+len+1,arr[i])-d;
				d[j]=arr[i];
			}
	}
	return len;
}
int main()
{
	cin>>n;
	for(int i=1;i<=n;i++)cin>>arr[i];
	cout<<slove()<<endl;
}