二分图/二分图最大匹配（匈牙利算法）

        

二分图

1. 定义

图为二分图当且仅当图中不存在奇数环

简单证明一下：

 

 

我们把这些点分为两个集合 假设1为集合1 那么2为集合2 集合3为集合1  1为集合2

矛盾！！！所以不能出现奇数环

二分图的判定方法

dfs染色法

我们任意选择起点然后染其邻接点(邻接点染为相反颜色) 表示两个集合 如果出现矛盾那么就不是二分图(当前染的点的邻接点有颜色 但是和当前点的颜色相同 这就是矛盾) 用图模拟下：

 

首先把任意一个点染为黑色 

 

那么它的邻接点都是白色

  然后白色邻接点都是黑色 这就是一个完美的二分图！！！

 

Code:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=10010;

int h[N],e[N],ne[N],color[N],idex,n,m;

void add(int a,int b){

e[idex]=b;

ne[idex]=h[a];

h[a]=idex++;

} //邻接表建立二分图

bool dfs(int x,int c){

color[x]=c;//c表示当前颜色

for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){//遍历其邻接点

if(!color[e[i]]){//如果没有被染色就染为相反的颜色

if(!dfs(e[i],3-c))return false;//邻接点染为相反颜色出现矛盾

}

else if(color[e[i]]==c)return false;//当前点出现矛盾

}

return true;

}

int main(){

memset(h,-1,sizeof(h));

cin>>n>>m;

int a,b;

while(m--){

cin>>a>>b;

add(a,b),add(b,a);

}

bool flag=true;

for(int i=1;i<=n;i++){

if(!color[i]){

if(!dfs(i,1))flag=false;

}

}

if(flag)cout<<"yes"<<endl;

else cout<<"no"<<endl;

}

应用

匈牙利最大匹配图：

因为二分图可以看成两个集合所以就可以把图看下图：

左为集合1右为集合2 那么二分图的匹配就是 左边集合的点对应一个右边集合的点 而且

右边集合只能对应一个左边的点(一一对应) 最大匹配就是左边最多几个点和左边的一一匹配

简单介绍一下匈牙利算法

从左边最上面的点开始加入左1匹配了右1到左2的时候2只能匹配右1 那么我们回溯到左1看左1是否有其他点可以匹配 如果有那么让左1匹配其他点 然后左2匹配右1（大体思路就是这样）

Code:

#include<bits/stdc++.h>

using namespace std;

const int N=510,M=100010;

int n1,n2,m;

int h[N],e[M],ne[M],idex;

int match[N];//记录右边的点匹配的是哪一个点

bool st[N];//标记当前点是否被考虑过;

void add(int a,int b){

e[idex]=b;

ne[idex]=h[a];

h[a]=idex++;

}

bool Find(int x){

for(int i=h[x];i!=-1;i=ne[i]){

if(!st[e[i]]){

st[e[i]]=true;

if(!match[e[i]]||Find(match[e[i]])){

match[e[i]]=x;

return true;

}

}

}

return false;

}

int main(){

cin>>n1>>n2>>m;

memset(h,-1,sizeof(h));

int a,b;

while(m--){

cin>>a>>b;

add(a,b);

}

int ans=0;

for(int i=1;i<=n1;i++){

memset(st,0,sizeof(st));

if(Find(i))ans++;

}

cout<<ans<<endl;

}