史蒂芬森加速迭代

迭代公式:

/*f(x)=(x^3-1)/3*/  
#include<stdio.h>  
#include<math.h>  
#define e 1e-5
double f(double x)  
{  
    return (x*x*x-1)/3.0;  
}  
int main()  
{  
    double x0,x1,x2,xk,xk0,e,ans;  
    x0=1.5;
    do  
    {  
        x1=f(x0);x2=f(x1);  
        xk=x0-((x1-x0)*(x1-x0))/(x2-2*x1+x0);   
        xk0=x0;  
        x0=xk;  
    }while(fabs(xk-xk0)>e);  
    ans=xk;  
    printf("%0.4lf\n",ans);  
    return 0;  
}   


### Steffensen迭代法的MATLAB实现 Steffensen迭代法是一种加速简单迭代方法收敛的技术,特别适用于解决非线性方程。以下是基于引用内容[^1]和标准实现方式的MATLAB代码示例: ```matlab function [root, iterations] = steffensen(f, x0, epsilon, maxIterations) % f: 待求解方程的函数句柄 % x0: 初始猜测值 % epsilon: 迭代停止的精度要求 % maxIterations: 最大迭代次数 iterations = 0; % 初始化迭代次数 x = x0; % 设置初始值 while iterations < maxIterations f_x = f(x); % 计算函数值 f(x) f_x_plus_h = f(x + f_x); % 计算 f(x + f(x)) if abs(f_x_plus_h - f_x) < epsilon root = x + f_x; % 满足精度要求,返回根 return; end x_new = x - (f_x * f_x) / (f_x_plus_h - f_x); % Steffensen迭代公式 x = x_new; % 更新 x 值 iterations = iterations + 1; % 增加迭代次数 if iterations >= maxIterations error('Steffensen迭代法无法在指定的迭代次数内找到方程的解。'); % 达到最大迭代次数时抛出错误 end end ``` #### 使用示例 假设需要求解方程 \( f(x) = x^2 - 4 \),可以定义函数并调用 `steffensen` 方法: ```matlab % 定义函数 f(x) f = @(x) x^2 - 4; % 调用 Steffensen 迭代法 [root, iterations] = steffensen(f, 3, 1e-6, 100); % 输出结果 fprintf('根为: %.6f\n', root); fprintf('迭代次数: %d\n', iterations); ``` 上述代码中,`f` 是目标函数,`3` 是初始猜测值,`1e-6` 是精度要求,`100` 是最大迭代次数。 #### 注意事项 - 初始猜测值 \( x_0 \) 的选择对收敛速度和结果有较大影响。 - 如果函数 \( f(x) \) 在某个区间内不满足单调性或连续性条件,可能导致迭代失败。 - 精度要求 \( \epsilon \) 和最大迭代次数 \( \text{maxIterations} \) 需要根据具体问题调整[^1]。 ### Steffensen迭代法的特点 Steffensen迭代法的核心思想是通过构造二次收敛的序列来加速简单迭代法的收敛速度。这种方法无需计算导数,因此比牛顿法更简单,但仍然保持较高的收敛效率[^1]。
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