从线性代数到unity mvp矩阵_unity mvp 矩阵详解-优快云博客

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坐标变换：矩阵是一种线性空间变换的描述（矩阵的列向量，是坐标变换后的基向量）。

如: $\begin{bmatrix} 1&3 \\ -2&0 \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} -1\\ 2 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix}$

如上图,即向量(-1,2)在经过由基底x轴:(1, -2) ,y轴:(3, 0)组成的矩阵变换后得到向量(5,2)

实际上就是-1倍的x轴:(1, -2)加上2倍的y轴:(3, 0)

以基底作为列向量组成的矩阵可以表示旋转、缩放变换。

下面说一个最简单的二维空间变换实例：

假设：BAC是一个以AC:(2,2)作为X轴，AB:(-2,2)作为Y轴的模型空间，那么点D在模型空间下的坐标就是(0.5, 0.5)。

我们现在把点D变换到世界空间下的坐标

1.可以看出点D在世界空间下，基于点A往AC方向走了0.5倍的AC，在AB方向走了0.5倍的AB。

用向量计算就是：0.5 · AC + 0.5 · AB = (0,2)。

那么点D相对于点A在世界空间下偏移了(0,2)。

用矩阵计算就是： $\begin{bmatrix} 2 & -2\\ 2& 2 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0.5\\ 0.5 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\ 2 \end{bmatrix}$ 。这个矩阵就是一个缩放、旋转组合的变换矩阵。

2.这时候我们知道了点D比点A在世界空间下是偏移了(0,2)，我们又知道点A的世界坐标是(-3,2)。

那么D的世界坐标就是(-3,2) + (0, 2) = (-3, 4)，

即： $\begin{bmatrix} 1 & 0& -3\\ 0& 1& 2\\ 0& 0& 1 \end{bmatrix}\cdot \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -3\\ 4\\ 1 \end{bmatrix}$ 。最左边的这个3X3矩阵就是平移变换矩阵。

最后从上面可以看出，我们必须先计算缩放、旋转矩阵的变换，再计算平移矩阵的变换。因为一开始的点(0.5, 0.5)是模型空间的坐标，而平移的坐标是世界空间下的坐标，两者并不在一个空间维度下，直接平移是不匹配的。只能先通过缩放、旋转矩阵变换之后得到的世界空间下的偏移值才能用坐标A来进行世界空间的平移变换。

逆矩阵:

逆矩阵就是矩阵的逆变换

若有矩阵A，则A的逆矩阵为： $A^{-1}$ 。有性质 $A^{}\cdot A^{-1} = E$ ，其中E为单位矩阵。

若有向量 $i$ 经过A矩阵变换后得到 $j$ ： $A^{}\cdot i = j$ 。又因为矩阵乘法结合律。

则有： $A^{-1}\cdot j = A^{-1}\cdot A\cdot i = E\cdot i = i$ ，即 $j$ 经过A矩阵的逆变换会变回 $i$

四维空间：

2X2的矩阵代表二维空甲的线性变换，而3X3矩阵则可以表示一个三维空间的变换。

在三维空间中，将向量 u 变换到向量 v，如果该变换是一个线性变换，一般可以使用一个不依赖于 u、v 的 3x3 的矩阵描述，即 A · u = v，其中 A 是描述该线性变换的变换矩阵。但是，并不是所有线性变换都能使用 3x3 矩阵描述，如：平移变换和对称变换，对于这些变换，需要将空间扩展到四维空间中，再使用 4x4 矩阵描述。这里注意，平移变换对向量来讲是没有意义的，因为无论如何平移，向量都是一样的，平移变换只对坐标点有意义。

Unity 模型变换主要有平移、旋转、缩放、对称，其中旋转和缩放变换可以使用 3x3 矩阵描述，平移和对称变换必须使用 4x4 矩阵描述，为了统一描述这些变换，将三维空间扩展到四维空间中，扩展方法如下：

三维空间中的坐标原点 [0, 0, 0]' 映射到四维空间中的 [0, 0, 0, 1]' 点；
三维空间中的 x、y、z 轴正方向单位向量 [1, 0, 0]'、[0, 1, 0]'、[0, 0, 1]' 分别映射到四维空间中的 [1, 0, 0, 0]'、 [0, 1, 0, 0]'、 [0, 0, 1, 0]' 向量；
新添加的 w 轴正方向单位向量为 [0, 0, 0, 1]'。
注意：三维空间中的原点 [0, 0, 0]' 并没有映射到四维空间中的原点 [0, 0, 0, 0]‘，而是映射到 [0, 0, 0, 1]’。

由以上空间映射关系可知：

三维空间中的任意点 [x, y, z]'，对应的四维空间坐标为：[x, y, z, 1]'；
三维空间中的任意向量 [x, y, z]'，对应的四维空间坐标为：[x, y, z, 0]'。

为什么这样做？

举个例子：

1：对点(1, 1, 1)进行平移变换：

$\begin{bmatrix} 1 & 0& 0& 2\\ 0& 1& 0 & 3\\ 0& 0& 1& 4\\ 0& 0& 0 & 1 \end{bmatrix}$