动态规划求 最长递增子序列

给出一段整数序列 ， 要求出这个序列的最长递增子序列 。

方法一：
我们可以利用背包状态转移的思想 ， 从后先前分析 ， 我们先只考虑前 i-1 个元素中的最长递增子序列 ， 当求前 i 个元素的最长递增序列时 ， 我们只需要确定第 i 个元素可以放在前 i-1 个元素中哪些元素的后面 ， 则 i 元素就能跟该元素构成一个新的序列。即：

k <= i-1 ;
xy[i] > xy[k] , 则 i 元素就能放在 k 元素的后面 ， 这样就构成了一个新的递增序列

代码：
int main()
{
    int xy[100010] , n;
    int dp[100010];
    while(scanf("%lld" , &n) != EOF)
    {
    int i , j;
    for(i = 1; i <= n; i++)
        cin>>xy[i];
    //memset(dp , 0 , sizeof(dp));
    dp[1] = 1;
    for(i = 2; i <= n; i++)
    {
        dp[i] = 1;
        for(j = 1; j < i; j++)//顺序查找
        {
            if(xy[j] < xy[i] && dp[i] < (dp[j]+1))
                dp[i] = dp[j]+1;
        }
    }//时间复杂度为：n*n
    int maxsum = 0;
    for(i = 1; i <= n; i++)
        if(dp[i] > maxsum)  maxsum = dp[i];
    cout<<maxsum<<endl;
    }
    return 0;
}

方法二：（dp + 二分查找）
对于方法一 ， 我们可以分析出其时间复杂度为：n*n ， 这复杂度太高了 ， 所以我们要在改善这个算法。
在方法一中我们是在用顺序查找来查找xy[i]在0~i-1中的位置 ， 因此我们可以在这里下手 ， 把顺序查找该为二分查找 ， 则时间复杂度变为了：n*lgn；

这个方法的原理:
首先我们知道 ， 对于每一个长度（递增序列中的元素数量）的递增序列 ， 我们只需要记录该序列的最后的一个元素就行了 ， 我们可以用一个数组 c 来储存 ，则c[1]就储存只有一个元素的递增序列中的最大那个数（也就是最后面那个数） ， c[2] 就储存只有2个元素的递增序列中的最大那个数.........
因此我们就得到了一个有序的数组 c ， 那么当我们确定 xy[i] 这个元素的最长递增序列时 ， 我们只需要在 c 中找到最小的大于xy[i]的元素的位置 ， 这个位置就是xy[i]的最长递增序列。

所以 ， 我们需要长期来维护数组c

代码：
#include
using namespace std;

long long int xy[100100];
long long int c[100100];

long long int find(long long int n , long long int x)
{
    long long int left = 1 , right = n ;
    long long int mid;
    while(left <= right)
    {
        mid = (right+left)/2;
        if(c[mid] < x)  left = mid + 1;  // 这里要注意 ， 因为是要求大于 x 的元素的位子 ， 所以这里不能加等于
        else right = mid - 1;
    }
    return left;
}

int main()
{
    long long int n;
    while(scanf("%lld" , &n) != EOF)
    {
        long long int i , j;
        for(i = 1; i <= n; i++)
            cin>>xy[i];
        c[0] = -1;
        c[1] = xy[1];
        long long int len = 1;
        for(i = 2; i <= n; i++)
        {
            j = find(len , xy[i]);
            c[j] = xy[i];  //维护数组c
            if(j > len)  len = j;
        }
        cout<<len<<endl;
    }
    return 0;
}