线性代数核心思想及应用——线性空间篇（知识点总结及例题详解）-优快云博客

本文深入解析线性空间的概念，包括线性空间的定义、加法与数乘运算，向量的线性关系、基与维数、子空间的交与和、直和以及同构性。通过实例阐述，理解向量组的线性相关与无关，以及如何寻找极大线性无关组和坐标表示。

线性空间

本篇主要内容：

1.线性空间及子空间

2.向量的线性关系

3.基、维数、坐标

4.子空间的交与和

5.子空间的直和

6.线性空间的同构

线性空间的定义与性质

1.线性空间的定义

设V是一个非空集合，F是一个数域，称V为F上的一个线性空间，如果满足以下运算规则：

加法： $V \times V \rightarrow V$

$\left ( \alpha ,\beta \right )\rightarrow \gamma := \alpha +\beta$

$\alpha +\beta =\beta +\alpha$

$\left ( \alpha +\beta \right )+\gamma =\alpha +\left ( \beta +\gamma \right )$

$\alpha +0=\alpha$

$\alpha +\beta =0$

数乘： $F \times V \rightarrow V$

$\left ( k,\alpha \right )\rightarrow \beta := k\alpha$

$\left ( k+l \right )\alpha = k\alpha +l\alpha$

$k\left ( \alpha +\beta \right )= k\alpha +k\beta$

$\left ( kl \right )\alpha =k\left ( l\alpha \right )$

$1\cdot \alpha = \alpha$

其中 $\alpha ,\beta ,\gamma$ 为V的任意元素，k , l为F中的任意数。

举例几个常见的线性空间：

$\left ( i\right ) F^{m\times n}$ : 数域F上的全体m✖️n矩阵关于矩阵的加法与数乘运算构成F上的线性空间。特别地， $F^{m}$ 表示F上的m维列空间或行空间

$\left ( ii \right )F\left [ x \right ]$ : 数域F上的一元多项式环 $F\left [ x \right ]$ 关于多项式的加法及数与多项式的乘法作成的线性空间

$\left ( iii \right )F_{n}\left [ x \right ]$ : 数域F上的一切次数 $\leq$ n 的多项式加上零多项式组成的线性空间

2.线性空间的简单性质

零元，负元唯一

$k\alpha = 0\Leftrightarrow k= 0 \; or \; \alpha =0$

$-\left ( -\alpha \right )= \alpha$

$-\left ( k\alpha \right )=\left ( -k \right )\alpha =k\left ( -\alpha \right )$

$k\left ( \alpha -\beta \right )= k\alpha -k\beta$

$\alpha +\beta = \gamma \Rightarrow \alpha = \gamma -\beta$

向量的线性关系

$V_{F}$ ——F上的线性空间，F为基域

线性组合与线性表示

$\alpha _{i}\in V_{F}, i= 1,2,...,s$ 称 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}\left ( k_{i}\in F \right )$ 为 $\alpha _{1},...,\alpha_{s}$ 的一个线性组合

$\alpha \in V_{F},\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 称 $\alpha$ 可由 $\left ( I \right )$ 线性表示，如果 $\alpha _{}= k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}$

如果向量 $\alpha$ 可由 $\beta _{1},...,\beta _{n}$ 线性表示，而每个 $\beta _{i}$ 又可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示，则 $\alpha$ 可由 $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性表示

线性相关与线性无关

$\alpha _{1},...,\alpha _{s}\in V_{F}\left ( I \right )$ 若向量方程 $k_{1}\alpha _{1}+...+k_{s}\alpha _{s}= 0\left ( \ast \right )$ 只有零解，则称向量组 $\left ( I \right )$ 是线性无关的，否则则称 $\left ( I \right )$ 是线性相关的

$F^{n}$ 的m个向量 $\alpha _{i}= \left ( \alpha _{1i},\alpha _{2i},...,\alpha _{ni} \right )^{'}\left ( i= 1,...,m \right )$ 线性相关的充要条件是齐次线性方程组 $AX= 0$ 有非零解，其中 $A= \left ( a_{ij} \right )_{n\times m}$ ，即 $r\left ( A \right )< M$ .特别地，当 $m= n$ 时， $\alpha _{1},...,\alpha _{n}$ 线性相关当且仅当 $\begin{vmatrix} A \end{vmatrix}=0$

将一个线性相关（无关）当向量组任意添加（减少）若干个非零向量所得的新向量组任线性相关（无关）

$\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性无关，则 $\beta$ 不能由 $\alpha _{1},...,\alpha _{r}$ 线性表示的充要条件是