股票买卖问题系列

于 2021-08-07 20:51:58 发布
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分类专栏： 算法题 文章标签： java 动态规划 leetcode
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股票问题 动态规划 贪心算法 交易策略 最大利润
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股票问题系列

股票问题系列通解

《股票问题系列通解》

推荐阅读 @stormsunshine 编写的文章《股票问题系列通解（转载翻译）》；

121. 买卖股票的最佳时机

121. 买卖股票的最佳时机

（只交易一次）

给定一个数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 表示一支给定股票第 i 天的价格。

你只能选择 某一天 买入这只股票，并选择在 未来的某一个不同的日子 卖出该股票。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。

返回你可以从这笔交易中获取的最大利润。如果你不能获取任何利润，返回 0 。

方法一

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int min=prices[0];//用一个变量记录一个历史最低价格，先假设第一天价格最低，
        //假设自己的股票是在最低那天买的
        int res=0;
        for(int i=1;i<=prices.length-1;i++){
            //遍历比较每一天的价格和当前最低价格，更新最低价格
            if(prices[i]<min){
                min=prices[i];
            }
            //今天卖出的话利润就是，今天的价格-最低价格，
            res=Math.max(res,prices[i]-min);
        }
        return res;
    }
}

方法二：动态规划
思路：题目只问最大利润，没有问这几天具体哪一天买、哪一天卖，因此可以考虑使用 动态规划 的方法来解决。

买卖股票有约束，根据题目意思，有以下两个约束条件：

条件 1：你不能在买入股票前卖出股票；
条件 2：最多只允许完成一笔交易。
因此 当天是否持股 是一个很重要的因素，而当前是否持股和昨天是否持股有关系，为此我们需要把 是否持股 设计到状态数组中。

状态定义：

dp [i][j]：下标为 i 这一天结束的时候，手上持股状态为 j 时，我们持有的现金数。

j = 0，表示当前不持股；
j = 1，表示当前持股。
注意：这个状态具有前缀性质，下标为 i 的这一天的计算结果包含了区间 [0, i] 所有的信息，因此最后输出 dp[len - 1][0]。

说明：

使用「现金数」这个说法主要是为了体现 买入股票手上的现金数减少，卖出股票手上的现金数增加 这个事实；
「现金数」等价于题目中说的「利润」，即先买入这只股票，后买入这只股票的差价；
因此在刚开始的时候，我们的手上肯定是有一定现金数能够买入这只股票，即刚开始的时候现金数肯定不为 0，但是写代码的时候可以设置为 0。极端情况下（股价数组为 [5, 4, 3, 2, 1]），此时不发生交易是最好的（这一点是补充说明，限于我的表达，希望不要给大家造成迷惑）。
推导状态转移方程：

dp[i][0]：规定了今天不持股，有以下两种情况：

昨天不持股，今天什么都不做；
昨天持股，今天卖出股票（现金数增加），
dp[i][1]：规定了今天持股，有以下两种情况：

昨天持股，今天什么都不做（现金数与昨天一样）；
昨天不持股，今天买入股票（注意：只允许交易一次，因此手上的现金数就是当天的股价的相反数）。
状态转移方程请见 参考代码 2。

知识点：

多阶段决策问题：动态规划常常用于求解多阶段决策问题；
无后效性：每一天是否持股设计成状态变量的一维。状态设置具体，推导状态转移方程方便。
参考代码 2：

public class Solution {
public int maxProfit(int[] prices) {
    int len = prices.length;
    // 特殊判断
    if (len < 2) {
        return 0;
    }
    int[][] dp = new int[len][2];

    // dp[i][0] 下标为 i 这天结束的时候，不持股，手上拥有的现金数
    // dp[i][1] 下标为 i 这天结束的时候，持股，手上拥有的现金数

    // 初始化：不持股显然为 0，持股就需要减去第 1 天（下标为 0）的股价
    dp[0][0] = 0;
    dp[0][1] = -prices[0];

    // 从第 2 天开始遍历
    for (int i = 1; i < len; i++) {
        dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
        dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], -prices[i]);
    }
    return dp[len - 1][0];
}
}

复杂度分析：

时间复杂度：O(N)，遍历股价数组可以得到最优解；
空间复杂度：O(N)，状态数组的长度为 N。

122. 买卖股票的最佳时机 II

122. 买卖股票的最佳时机 II
（允许多次交易）

给定一个数组 prices ，其中 prices[i] 是一支给定股票第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）。

注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

方法一：贪心

统计所有上升趋势的收益，

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len=prices.length;
        if(len<2){
            return 0;
        }
        int res=0;
        for(int i=1;i<=len-1;i++){
            if(prices[i]>prices[i-1]){
                res=res+prices[i]-prices[i-1];
            }
        }
        return res;
    }
}

方法二：动态规划

定义状态dp[i][0]表示第 i天交易完后手里没有股票的最大利润，
dp[i][1]表示第 i天交易完后手里持有一支股票的最大利润（i 从 0 开始）。

注意状态转移方程和121的区别： dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
    int len = prices.length;
    // 特殊判断
    if (len < 2) {
        return 0;
    }
    int[][] dp = new int[len][2];

    // dp[i][0] 下标为 i 这天结束的时候，不持股，手上拥有的现金数
    // dp[i][1] 下标为 i 这天结束的时候，持股，手上拥有的现金数

    // 初始化：不持股显然为 0，持股就需要减去第 1 天（下标为 0）的股价
    dp[0][0] = 0;
    dp[0][1] = -prices[0];

    // 从第 2 天开始遍历
    for (int i = 1; i < len; i++) {
        dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i]);
        dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i-1][0]-prices[i]);//因为允许多次交易
    }
    return dp[len - 1][0];
    }
}

优化空间：

每一天的状态只与前一天的状态有关，而与更早的状态都无关，因此我们不必存储这些无关的状态，

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int dp0 = 0, dp1 = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            int newDp0 = Math.max(dp0, dp1 + prices[i]);
            int newDp1 = Math.max(dp1, dp0 - prices[i]);
            dp0 = newDp0;
            dp1 = newDp1;
        }
        return dp0;
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-ii/solution/mai-mai-gu-piao-de-zui-jia-shi-ji-ii-by-leetcode-s/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

123. 买卖股票的最佳时机 III

123. 买卖股票的最佳时机 III
（允许2次交易）

给定一个数组，它的第 i 个元素是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 两笔 交易。
注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

动态规划
由于我们最多可以完成两笔交易，因此在任意一天结束之后，我们会处于以下五个状态中的一种：
未进行过任何操作；
只进行过一次买操作；
进行了一次买操作和一次卖操作，即完成了一笔交易；
在完成了一笔交易的前提下，进行了第二次买操作；
完成了全部两笔交易。
由于第一个状态的利润显然为 00，因此我们可以不用将其记录。对于剩下的四个状态，我们分别将它们的最大利润记为buy1,sell 1,buy 2,以及 sell2 。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int n = prices.length;
        int buy1 = -prices[0], sell1 = 0;
        int buy2 = -prices[0], sell2 = 0;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            buy1 = Math.max(buy1, -prices[i]);//扣除第i天买入的花费
            sell1 = Math.max(sell1, buy1 + prices[i]);
            buy2 = Math.max(buy2, sell1 - prices[i]);//扣除第i天买入的花费
            sell2 = Math.max(sell2, buy2 + prices[i]);
        }
        return sell2;
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iii/solution/mai-mai-gu-piao-de-zui-jia-shi-ji-iii-by-wrnt/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

188. 买卖股票的最佳时机 IV

188. 买卖股票的最佳时机 IV

（允许K次交易）

给定一个整数数组 prices ，它的第 i 个元素 prices[i] 是一支给定的股票在第 i 天的价格。设计一个算法来计算你所能获取的最大利润。你最多可以完成 k 笔交易。注意：你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。

这个wqs二分的题解牛逼

动态规划：

在这里插入图片描述

因为 n 天最多只能进行n/2笔交易，其中⌊x⌋ 表示对 x 向下取整。因此我们可以将 k 对n/2取较小值之后再进行动态规划。

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length == 0) {
            return 0;
        }

        int n = prices.length;
        k = Math.min(k, n / 2);
       //第i天，进行恰好 j笔交易，并且当前手上持有一支股票，这种情况下的最大利润；
        int[][] buy = new int[n][k + 1];
        //第i天，进行恰好 j笔交易，并且当前手上没有股票，这种情况下的最大利润；
        int[][] sell = new int[n][k + 1];

        buy[0][0] = -prices[0];
        sell[0][0] = 0;
        for (int i = 1; i <= k; ++i) {
            //不可能进行过任何交易，设置为一个非常小的值，表示不合法的状态。
            buy[0][i] = sell[0][i] = Integer.MIN_VALUE / 2;
        }

        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            
            buy[i][0] = Math.max(buy[i - 1][0], sell[i - 1][0] - prices[i]);
            for (int j = 1; j <= k; ++j) {
                buy[i][j] = Math.max(buy[i - 1][j], sell[i - 1][j] - prices[i]);
                sell[i][j] = Math.max(sell[i - 1][j], buy[i - 1][j - 1] + prices[i]);   
            }
        }

        return Arrays.stream(sell[n - 1]).max().getAsInt();//获取数组最大值
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/solution/mai-mai-gu-piao-de-zui-jia-shi-ji-iv-by-8xtkp/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

class Solution {
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices.length == 0) {
            return 0;
        }

        int n = prices.length;
        k = Math.min(k, n / 2);
        int[] buy = new int[k + 1];
        int[] sell = new int[k + 1];

        buy[0] = -prices[0];
        sell[0] = 0;
        for (int i = 1; i <= k; ++i) {
            buy[i] = sell[i] = Integer.MIN_VALUE / 2;
        }

        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            buy[0] = Math.max(buy[0], sell[0] - prices[i]);
            for (int j = 1; j <= k; ++j) {
                buy[j] = Math.max(buy[j], sell[j] - prices[i]);
                sell[j] = Math.max(sell[j], buy[j - 1] + prices[i]);   
            }
        }

        return Arrays.stream(sell).max().getAsInt();
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/solution/mai-mai-gu-piao-de-zui-jia-shi-ji-iv-by-8xtkp/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

用三维数组记录天数，交易次数，是否持有

  class Solution { //动态规划
    public int maxProfit(int k, int[] prices) {
        if (prices == null || prices.length < 2 || k == 0) {
            return 0;
        }
// [天数][交易次数][是否持有股票] 
    int[][][] dp = new int[prices.length][k + 1][2];

    // bad case
    dp[0][0][0] = 0;
    dp[0][0][1] = Integer.MIN_VALUE;
    dp[0][1][0] = 0;
    dp[0][1][1] = -prices[0];
    // dp[0][j][0] 都均为0
    // dp[0][j][1] 异常值都取Integer.MIN_VALUE;
    for (int i = 2; i < k + 1; i++) {
        dp[0][i][0] = 0;
        dp[0][i][1] = Integer.MIN_VALUE;
    }

    for (int i = 1; i < prices.length; i++) {
        for (int j = k; j >= 1; j--) {
            // dp公式
            dp[i][j][0] = Math.max(dp[i - 1][j][0], dp[i - 1][j][1] + prices[i]);
            dp[i][j][1] = Math.max(dp[i - 1][j][1], dp[i - 1][j - 1][0] - prices[i]);
        }
    }

    int res = 0;
    for (int i = 1; i < k + 1; i++) {
        res = Math.max(res, dp[prices.length - 1][i][0]);
    }

    return res;
}
}


作者：carlsun-2
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-iv/solution/dai-ma-sui-xiang-lu-188-mai-mai-gu-piao-w01v7/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

309. 最佳买卖股票时机含冷冻期

给定一个整数数组，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 。设计一个算法计算出最大利润。在满足以下约束条件下，你可以尽可能地完成更多的交易（多次买卖一支股票）:你不能同时参与多笔交易（你必须在再次购买前出售掉之前的股票）。
卖出股票后，你无法在第二天买入股票 (即冷冻期为 1 天)。

在这里插入图片描述

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices) {
        int len=prices.length;
        if(len<2){return 0;}

        int dp[][]=new int[len][3];

        dp[0][0]=-prices[0];
        dp[0][1]=0;
        dp[0][2]=0;

        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i][0]=Math.max(dp[i-1][0],dp[i-1][2]-prices[i]);//可能是昨天买入
            dp[i][1]=dp[i-1][0]+prices[i];//今天卖出股票
            dp[i][2]=Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][2]);//今天没有卖出股票的行为，也没有持有股票，昨天不持有股票，利润为昨天的两种情况较大值
        }
        
        return Math.max(dp[len-1][1],dp[len-1][2]);
    }
}

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

714. 买卖股票的最佳时机含手续费

给定一个整数数组 prices，其中第 i 个元素代表了第 i 天的股票价格 ；非负整数 fee 代表了交易股票的手续费用。你可以无限次地完成交易，但是你每笔交易都需要付手续费。如果你已经购买了一个股票，在卖出它之前你就不能再继续购买股票了。返回获得利润的最大值。

注意：这里的一笔交易指买入持有并卖出股票的整个过程，每笔交易你只需要为支付一次手续费。

动态规划：

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int n = prices.length;
        int[][] dp = new int[n][2];
        dp[0][0] = 0;
        dp[0][1] = -prices[0];
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            dp[i][0] = Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] + prices[i] - fee);//手里没有股票
            dp[i][1] = Math.max(dp[i - 1][1], dp[i - 1][0] - prices[i]);//手里持有股票
        }
        return dp[n - 1][0];
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/solution/mai-mai-gu-piao-de-zui-jia-shi-ji-han-sh-rzlz/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

贪心算法：

换一个角度考虑，将手续费放在买入时进行计算，当我们卖出一支股票时，我们就立即获得了以相同价格并且免除手续费买入一支股票的权利。

class Solution {
    public int maxProfit(int[] prices, int fee) {
        int n = prices.length;
        int buy = prices[0] + fee;
        int profit = 0;
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
            if (prices[i] + fee < buy) {
                buy = prices[i] + fee;
            } else if (prices[i] > buy) {
                profit += prices[i] - buy;
                buy = prices[i];
            }
        }
        return profit;
    }
}

作者：LeetCode-Solution
链接：https://leetcode-cn.com/problems/best-time-to-buy-and-sell-stock-with-transaction-fee/solution/mai-mai-gu-piao-de-zui-jia-shi-ji-han-sh-rzlz/
来源：力扣（LeetCode）
著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。
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