经典动态规划—53. 最大子序和

53. 最大子序和

53. 最大子序和

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

方法一：动态规划

如何定义状态？
我们列出子问题如下：

子问题 1：以 -2结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 2：以 1结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 3：以 -3 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 4：以 4 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 5：以 -1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 6：以 2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 7：以 1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 8：以 -5 结尾的连续子数组的最大和是多少；
子问题 9：以 4 结尾的连续子数组的最大和是多少。

我们加上了「结尾的」，这些子问题之间就有了联系。

定义状态（定义子问题）
dp[i]：表示以 nums[i] 结尾 的 连续 子数组的最大和。

根据状态的定义，由于 nums[i] 一定会被选取，并且以 nums[i] 结尾的连续子数组与以 nums[i - 1] 结尾的连续子数组只相差一个元素 nums[i] 。

注意：
这里状态的定义不是题目中的问题的定义，不能直接将最后一个状态返回回去；
这个问题的输出是把所有的 dp[0]、dp[1]、……、dp[n - 1] 都看一遍，取最大值

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int len=nums.length;
        if(len==0){
            return 0;
        }
        int res=nums[0];
        int dp[]=new int[len];
        dp[0]=nums[0];
        for(int i=1;i<len;i++){
            dp[i]=Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
            res=Math.max(res,dp[i]);
        }
        return res;
    }
}

可以优化空间吗?
根据「状态转移方程」，dp[i] 的值只和 dp[i - 1] 有关，因此可以使用「滚动变量」的方式将代码进行优化。

public class Solution {

    public int maxSubArray(int[] nums) {
        int pre = 0;
        int res = nums[0];
        for (int num : nums) {
            pre = Math.max(pre + num, num);
            res = Math.max(res, pre);
        }
        return res;
    }
}

最后再谈谈「无后效性」
「无后效性」是我多次提到的一个「动态规划」中非常重要的概念，在我看来，理解这个概念无比重要。很遗憾，《算法导论》上没有讲到「无后效性」。我找了一本在「豆瓣」目前豆瓣上评分为 9.2 的书 《算法竞赛进阶指南》，这本书和《算法导论》《算法 4》和 liuyubobobo 老师的算法课程一样，在我学习算法与数据结构的道路上，都发挥了巨大的作用。

李煜东著《算法竞赛进阶指南》，摘录如下：：

为了保证计算子问题能够按照顺序、不重复地进行，动态规划要求已经求解的子问题不受后续阶段的影响。这个条件也被叫做「无后效性」。换言之，动态规划对状态空间的遍历构成一张有向无环图，遍历就是该有向无环图的一个拓扑序。有向无环图中的节点对应问题中的「状态」，图中的边则对应状态之间的「转移」，转移的选取就是动态规划中的「决策」。

拓展：返回最大和的子序列

    public int[] maxSubArray(int[] nums) {
        int len=nums.length;

        int res=nums[0];
        if(len==0){
            res=0;
        }
        int dp[]=new int[len];
        dp[0]=nums[0];
        int start=0;
        int end=0;
        int finalStrat=0;
        int finalEnd=0；

        for(int i=1;i<len;i++){
            //原来题解的动态规划代码
            // dp[i]=Math.max(dp[i-1]+nums[i],nums[i]);
            // res=Math.max(res,dp[i]);
            if(dp[i-1]+nums[i]<nums[i]){//dp[i-1]<0;
                dp[i]=nums[i];
                start=end=i;
                if(res<dp[i]){//nums[i]>0;
                    res=dp[i];
                    finalStrat=start;
                    finalEnd=end;
                }
            }else{//dp[i-1]>0，开始下标不动。动结束下标
                dp[i]=dp[i-1]+nums[i];
                end=i;
                if(res<dp[i]) {
                    res = dp[i];
                    finalEnd=end;
                }

            }
        }
        //根据finalStart和finalEnd创建数组
        int[] ans=new int[finalEnd-finalStrat+1];
        for(int i=0;i<ans.length;i++){
            ans[i]=nums[finalStrat+i];
        }
        return ans;
    }

作者：zdf_mars
链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/solution/zdf-53-zui-da-zi-xu-he-by-zdf_mars-1dft/
来源：力扣（LeetCode）
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