机器学习数学基础系列|凸优化——开启新世界的大门（上）

在机器学习中，要做的核心工作之一就是根据实际问题，定义出一个目标函数，接着找到这个目标函数的最优解。在找这个最优解的过程中，你可能会生不如死~

但是，上帝关上了你的门，总会给你打开一扇窗~

有一类问题叫做凸优化问题，我们可以比较有效的找到全局最优解。这就是今天我们就来介绍的主角——凸优化。话不多说，先来看一下相关的一些定义。

1、凸函数

若 是凸函数，（如  ）则函数图像位于凸函数上方的区域构成凸集。

有：

• 凸函数图像的上方区域，一定是凸集。

• 一个函数图像的上方区域是凸集，则该函数就是凸函数。

• 凸函数的局部最小值就是全局最小值。

正式定义：

（1）若函数  的定义域  为凸集，且满足

    

则有：

 

（2）若函数  一阶可微，则函数  为凸函数当且仅当  的定义域domf为凸集，且：

（3）若函数  二阶可微，则函数  为凸函数当且仅当  的定义域domf为凸集，且：

若   是一元函数，上式表示二阶导大于等于零。

若   是多元函数，上式表示二阶导  矩阵半正定。

凸函数的举例：

• 指数函数：

• 幂函数： 或 

• 负对数函数：

• 负熵函数：

• 范数函数：

• 最大值函数：

• 指数线性函数：

  最大值函数：

        指数线性函数：

2、仿射集

若通过集合  中任意两个不同点的直线仍然在集合  内，则称集合  为仿射集。

  ，

则 

直线，平面和超平面都属于仿射集： 维空间的  -1维仿射集为  -1维超平面。

3、凸集

集合  内任意两点间的线段均在集合  内，则称集合  为凸集：

  ，

则 

  ，

则 

一般来说，仿射集的要求更高，仿射集必然是凸集，凸集未必是仿射集。

4、分割超平面

设  和  是两个不相交的凸集，则存在超平面 ， 可以将  和  分离。

有：    ，

且  

5、支持超平面

设集合  ，  为  边界上的点。若存在  ，满足对任意  ，都有  成立，则称超平面  为集合  在点  处的支撑超平面。

凸集边界上任意一点，均存在支撑超平面。反之，若一个闭的非中空（内部点不为空）集合，在边界上的任意一点存在支撑超平面，则该集合为凸集。

以上就是凸优化相关知识的一些定义啦。下面给大家介绍一下Jensen不等式。Jensen不等式（Jensen's inequality）是以丹麦数学家Johan Jensen命名的，它在概率论、机器学习、测度论、统计物理等领域都有相关应用。  不等式相当于把凸函数的概念反过来说,即是如果  是一个凸函数,任意取一个在  定义域上的 点，

若  是凸函数，有 :

         有

 

若  

则：

若      

则：

•  不等式是几乎所有不等式的基础

1、利用  是凸函数，证明： 。

提示：任取  代入基本  不等式。

2、利用  (  是凸函数)，证明下式  。其中，

证明：

注意到  在定义域上是凸函数，则：

               

           

            

          

                        

                         

             =0   

好了，以上就是本期的分享啦，凸优化，我们下期再会，未完待续。。。。

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 编辑：yxc

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