数据结构-希尔排序

希尔排序

希尔排序：

希尔排序又称缩小增量排序，它的实质是分组插入排序，因DL．Shell于1959年提出而得名。

直接插入排序法，在待排序序列关键字基本有序且关键字个数 N 较小时，其算法的性能最佳。希尔排序是一种基于插入思想的排序方法，它利用了直接插入排序的最佳性质，首先，将待排序序列按关键字分成若干个较小的子序列，对子序列进行直接插入排序，使每个子序列排好序，进而使整个序列趋于有序。然后在进行直接插入排序时，直接插入排序面对基本有序的序列时很高效。

算法思想：

先将整个待排元素序列分割成若干个子序列（由相隔某个“增量”的元素组成的）分别进行直接插入排序，然后依次缩减增量再进行排序，待整个序列中的元素基本有序（增量足够小）时，再对全体元素进行一次直接插入排序。因为直接插入排序在元素基本有序的情况下（接近最好情况），效率是很高的，因此希尔排序在时间效率上比单纯的直接插入排序有较大提高。

图形描述：

我们以以n=10的一个数组 {49, 38, 65, 97, 26, 13, 27, 49, 55, 7}为例来走一下希尔排序的过程：

首先 gap = 10 / 2 = 5,整个数组被分成 5 组，分组后的子数组分别是：{49，13}，{38,27}，{65,49}，{97,55}，{26,7}，子数组进行直接插入排序后为： {13，49}，{27,38}，{49,65}，{55,97}，{7,26}。

此时 gap = 5 / 2 = 2，整个数组被分成 2 组，分组后的子数组是：{13,49,7,38,97}，{27,55,49,65,26}，子数组进行直接插入排序后为：{7,13,38,49,97}，{26,27,49,55,65}。

现在 gap = 2 / 2 = 1,所以直接对整个数组进行直接插入排序，至此整个希尔排序完成。

代码实现：

先给出严格按定义写出的代码

void ShellSort(int a[],int n)
{
	int gap,i,j;
	for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)  //控制步长
		for (i = 0; i < gap; ++i)  //这层循环达到分组的目的
		{
			for (j = i + gap; j < n;j += gap)  //对子数组进行直接插入排序
			{
					int tmp = a[j];
					int prev = j - gap;

					while (prev>=0 && a[j]<a[prev]){  //这里是直接插入排序的核心步骤
						a[j] = a[prev];
						prev -= gap;
					}

					a[prev + gap] = tmp;
			}
		}
}

上面的代码对直观的理解希尔排序的过程是有很大的帮助，但不够简明清晰。在这里我们的改进方法是每次从第 gap 个元素出发，对组内元素进行直接插入排序，并且不是先对相对下标值小的子数组一次性完成直接插入排序，而是每组子数组同步进行。

void ShellSort(int a[],int n)
{
	int gap,j;
	for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)  //控制步长
	for (j = gap; j < n;++j)  //++j操作是很巧妙地，这步操作省去了对数组进行分组的一层循环
	{
		int tmp = a[j];
		int prev = j - gap;

		while (prev>=0 && a[j]<a[prev]){  //这里是直接插入排序的核心步骤
			a[j] = a[prev];
		    prev -= gap;
		    }

		a[prev + gap] = tmp;
	}
}

下面这种做法的代码也是非常简洁的，与第二种无本质区别，我个人更推荐第二种代码 ，具体使用哪一个就看个人啦

void ShellSort(int a[], int n)
{
	int i, j, gap;
	for (gap = n / 2; gap > 0; gap /= 2)
	for (i = gap; i < n; i++)
	for (j = i - gap; j >= 0 && a[j] > a[j + gap]; j -= gap)
		Swap(a[j], a[j + gap]);
}

时间复杂度和空间复杂度： 

时间复杂度：希尔排序的时间复杂度较其他排序没有那么直观，一般认为它的时间复杂度为，比直接插入要好。 希尔排序对于中等规模（N  <= 1000）的序列具有较高的效率。

空间复杂度：

稳定性：

是不稳定的，在排序过程中，相同关键字的领先关系有可能会发生变化。

例如，有待排序序列为{2,4,1,2}，设 gap = 2， 排序后的结果为{1,2,2,4}。 

增量的取法：

最初希尔提出 gap = N / 2，再取 gap = gap / 2，直到 gap = 1 为止，这种方案的缺点是，奇数位置的元素在最后一步才会与偶数位置的元素进行比较，使得希尔排序效率降低。因此后来 knuth 提出 gap = N / 3 +1 的方案，没有给出证明。已知的最好步长序列是由Sedgewick提出的(1, 5, 19, 41, 109,...)，该序列来自个算式。关于这点说到这里了。。。