39、非平稳时间序列模型：理论、方法与应用

非平稳时间序列模型：理论、方法与应用

1. 非平稳时间序列概述

时间序列若其均值随时间变化，则为非平稳序列。例如，随机游走过程虽呈现较强的上升趋势，但实际上其均值恒定为零，不存在确定性趋势。以1986年1月至2006年1月的每月原油价格为例，该序列波动较大，尤其是2001年之后，平稳模型并不适用，而某些包含随机趋势的非平稳模型则较为合理。

1.1 平稳性与确定性趋势

许多情况下，尤其是在商业和经济领域，不能轻易假定时间序列存在确定性趋势。如随机游走过程，其表面上的趋势可能并非内在的确定性趋势。

1.2 原油价格示例

原油价格时间序列的变化表明，平稳模型无法很好地拟合该序列，需要考虑非平稳模型。以下是绘制原油价格时间序列图的代码：

win.graph(width=4.875,height=3,pointsize=8)
data(oil.price)
plot(oil.price, ylab='Price per Barrel',type='l')

2. 通过差分实现平稳性

2.1 AR(1)模型的不同情况

考虑AR(1)模型 (Y_t = \varphi Y_{t - 1} + e_t)，当 (|\varphi| < 1) 时，模型具有平稳性；当 (|\varphi| \geq 1) 时，情况有所不同。以 (Y_t = 3Y_{t - 1} + e_t) 为例，迭代可得 (Y_t = e_t + 3e_{t - 1} + 3^2e_{t - 2} + \cdots + 3^