26、空间相关时间序列检测与子空间平均及其应用

空间相关时间序列检测与子空间平均及其应用

1. 空间相关时间序列检测

1.1 检测问题的不变性

给定观测值 (Z = [z_1 \cdots z_M])，检测问题存在一些不变性。将观测值 (z) 乘以块大小为 (L) 的块对角矩阵，不会改变 (D_1) 和 (D_0) 的结构，这一不变性代表了频域中的多输入多输出（MIMO）滤波。此外，对 (D_1) 和 (D_0) 的 (LP \times LP) 块进行置换，以及在这些块内对 (L \times L) 块进行置换，都不会改变其结构，这些置换会导致 (u[n]) 的离散傅里叶变换（DFT）频率的特定重新排序。最后，问题对右乘酉矩阵也是不变的。这些不变性由不变性群 (G = {g | g \cdot Z = PBZQ_M}) 捕获，其中 (B) 是块大小为 (L) 的可逆块对角矩阵，(Q_M \in U(M))，(P = P_N \otimes (P_P \otimes I_L))，(P_N) 和 (P_P) 分别是大小为 (N) 和 (P) 的置换矩阵。

1.2 测试统计量

1.2.1 广义似然比（GLR）

考虑将问题重新表述为虚拟问题后，检测循环平稳性的（近似）GLR 为：
(\lambda = \frac{1}{\xi^{1/M}} = \frac{\det(\hat{D} 1)}{\det(\hat{D}_0)})
其中 (\xi = \frac{\ell(\hat{D}_1; Z)}{\ell(\hat{D}_0; Z)})，(\ell(\hat{D}_i; Z)) 是第 (i) 个假设的似然，其中协方差矩阵 (D_i) 已被其最大似然估计