25、多元平稳时间序列的近似广义似然比及相关应用

多元平稳时间序列的近似广义似然比及相关应用

在信号处理和时间序列分析领域，检测时间序列之间的相关性是一个重要的问题。本文将介绍多元平稳时间序列的近似广义似然比（GLR）检测方法，以及其在认知无线电、时间序列的非正则性测试和循环平稳性检测等方面的应用。

1. 多元平稳时间序列的近似GLR

当 $L$ 个时间序列 ${x_l[n], l = 1, \ldots, L}$ 联合平稳时，协方差矩阵 $R$ 中的每个协方差块都是Toeplitz矩阵。由于没有封闭形式的表达式或终止算法来估计这些块，我们采用多元扩展的Whittle似然方法来计算GLR。

首先，将时空测量值排列成 $L$ 维空间向量 $x[n] = [x_1[n] \cdots x_L[n]]^T$，$n = 0, \ldots, N - 1$，然后将这些向量堆叠成 $LN \times 1$ 的时空向量 $y = [x^T[0] \cdots x^T[N - 1]]^T$。在假设 $H_1$ 和 $H_0$ 下，协方差矩阵分别为：
$R_1 =
\begin{bmatrix}
R_1[0] & R_1[-1] & \cdots & R_1[-N + 1] \
R_1[1] & R_1[0] & \cdots & R_1[-N + 2] \
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
R_1[N - 1] & R_1[N - 2] & \cdots & R_1[0]
\end{bmatrix}$
$R_0 =
\be