分块详解(优雅的暴力)

hsez_yyh

已于 2022-09-14 16:59:43 修改

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分类专栏：算法分析冲击NOI 文章标签：数据结构 c++ 算法链表

于 2022-09-14 16:57:06 首次发布

本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/yyh_getAC/article/details/126823013

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本文详细介绍了分块技术在解决区间操作问题中的应用，通过实例展示了如何利用分块优化复杂度，包括区间加法、区间求和、区间逆序对计数等场景，同时提供了具体的C++代码实现，揭示了分块在非线段树解决方案中的价值。

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作者： hsez_yyh

链接： https://blog.youkuaiyun.com/yyh_getAC/article/details/126823013

来源：湖北省黄石二中信息竞赛组
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分块，顾名思义，就是把问题分成很多块，然后对每块单独求解，最终的答案就是每块的答案的并。在信息学中，我们通常将分块定义为把一个长度为 N 的序列分成若干块，然后对于每次在序列上的操作 ( 一般是区间的修改和查询)，我们们分别在操作设计的那些块上进行即可。简单的来说，分块其实就是一种暴力的优化。

还是先来看一个小问题： 243. 一个简单的整数问题2 - AcWing题库

该题要支持区间加以及区间求和，很显然，这是一个~~线段树的板子题~~，然而我们今天不用线段树来做。首先我们想一想这道题暴力慢在哪，每次操作如果我们暴力进行的话，那将会是 $O(N^2)$ 的复杂度，但是我们好好想一想，每次区间加法的时候，我们其实是没必要过多关注每个元素的具体值的，例如我们将区间 [ l , r ] 这段区间内的所有数都+1，其实相当于将[ l , r ] 这个区间内所有元素的和+( r-l+1 )，~~类比于线段树~~，要是我们能简化这个过程就好了，也就是说，我们要是能采取一种非线段树的方式给每次操作的区间打上标记(即增删改了些什么)就好了。为了不使用线段树，并且要使复杂度尽可能的优，那就得请出我们今天的主角：分块。

分块的实现

分块的思路很简单。首先，我们先把给定的数组进行分块处理，即把他们分成若干个相同的区间，一般的，我们把每个块的长度定为 $\sqrt{N}$ ；为什么是 $\sqrt{N}$ 呢？因为我们的操作是基于块的：假设我们当前要操作的区间为 [ l , r ] ，那么我们可以先看有多少个块完全处于这个区间中，对于这些块，我们将只需要在块上打上操作标记即可，并不用真正地每个元素修改，而我们最多会有 $\sqrt{N}$ 个块，所以这个过程的复杂度为 $\sqrt{N}$ 的；特别的我们还会有一些块只有一部分在我们的区间中，而根据常识，这样的块最多只会存在两块，那么我们对于这两块，直接暴力地修改包含在区间的部分的元素即可，很显然，这两块的元素最多有 $2\times \sqrt{N}$ 个，所以过程的复杂度也在 $\sqrt{N}$ 的级别。而每次操作，我们最坏会把上述的两个过程都跑满，但是除去我们小小的常数，单次操作的复杂度还是可以保证在 $\sqrt{N}$ 级别的。，所以这样算下来，我们分块的总复杂度大约为 $O(N\times \sqrt{N})$ ，虽然不及线段树，但是速度还是很快的，爆切几道题目还是可以的。

我们还是画个图来感性理解一下，就以上述那道题目为例：

然后我们来进行一个修改操作，比如说把区间 [ 3,8 ] 内的所有元素 + 2

修改操作非常简单，我们再来看看查询操作，例如：求区间[ 4,8 ] 内的元素和：

可见求和操作也非常的简单，那么我们就能愉快的切掉例题了：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1e5+10;
LL a[N];
int loc

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