MATLAB基础篇——线性代数应用

在MATLAB基础篇——基础语法介绍了有关矩阵的基本运算和线性代数中的一些基本问题。这里我们再讨论如下问题：1.求向量组的极大线性无关组；2.化二次型为标准形；3.判断二次型的正定性；4.解线性方程组

向量组的极大线性无关组

通过向量组的秩来讨论向量组的线性相关性。由于矩阵的秩=行秩=列秩，所以求向量组的秩相当于求由向量组作为列（行）向量构建的矩阵的秩——通过rank函数，再利用rref函数可以得到该矩阵的标准阶梯形矩阵，从而得到向量组的极大线性无关组，及其他向量用该极大线性无关组的表示

a1=[2 1 3 2];
a2=[3 2 -2 -3];
a3=[1 0 8 7];
a4=[-3 -2 3 4];
a5=[-7 -4 0 3];
A=[a1;a2;a3;a4;a5]';  %转置作为列向量
rank(A)
rref(A)   

% 秩为3
ans =

     3

% a1' ,a2',a4'作为极大线性无关组，a3=2*a1-a2,a5=-2*a1+3*a2+4*a4
ans =

     1     0     2     0    -2
     0     1    -1     0     3
     0     0     0     1     4
     0     0     0     0     0

化二次型为标准形

线代里面，我们学习到化二次型$f=x^{T}Ax$为标准形$f=y^{T}By$的过程就是二次型的实对称矩阵$A$正交相似化的过程，二次型标准形的系数就是$A$的特征值${\lambda }_1,...,{\lambda }_n$，即$B=diag({\lambda }_1,...,{\lambda }_n)$,由$A$的特征值构成的对角阵，而该线性变换$x=Py$中的$P$为特征值对应的特征向量，所以该问题转化为求实对称矩阵$A$的特征值和特征向量——通过eig函数

%eig(A),e=eig(A) 得到A的特征值构成的列向量
%[P,E]=eig(A) P为特征向量作为列向量构成的矩阵，E为对角线元素为特征值的对角阵
%注意，若A为实对称矩阵，则得到的特征向量矩阵是正交矩阵

clear
clc
A=[-5 2 2;2 -6 0;2 0 -4];  %二次型的实对称矩阵
[P,E