动态规划---0/1背包问题

最新推荐文章于 2025-05-22 20:58:24 发布

蓝翳-裂缝中的阳光

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分类专栏：算法导论文章标签：算法动态规划

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本文深入探讨了0/1背包问题的解决策略，通过具体实例展示了如何利用动态规划方法求解此类问题。同时，文章还提供了一个优化算法版本，通过排序和贪心策略进一步提高了解决效率。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

0/1背包问题

1. 问题描述

给定一个载重量为m，n个物品，其重量为w_i，价值为v_i，1<=i<=n，要求:把物品装入背包，并使包内物品价值最大

2. 问题分析

在0/1背包问题中，物体或者被装入背包，或者不被装入背包，只有两种选择。

循环变量i，j意义：前i个物品能够装入载重量为j的背包中

(n+1)*(m+1)数组value意义：value[i][j]表示前i个物品能装入载重量为j的背包中物品的最大价值

若w[i]>j，第i个物品不装入背包

否则，若w[i]<=j且第i个物品装入背包后的价值>value[i-1][j]，则记录当前最大价值（替换为第i个物品装入背包后的价值）

代码如下：

#include<iostream>
using namespace std;


//record用来记录0-maxvolume的空间内能容纳的最大价值的物品
int BagProblem(int *volume,int *value,int length,int maxvolume,int *record)
{
	int i,j;
	for(i = 0; i < length; i++)
	{
		//注意顺序，如果从volume[i]开始计算最大价值，会导致后面的数据不正确，每轮只是更新当前i种
		//物品下在0-maxvolume下所能得到的最大利益
		for(j = maxvolume; j >= volume[i]; j--)
		{
			if(volume[i] <= j)
			{
				if((record[j - volume[i]] + value[i]) > record[j])
					record[j] = record[j - volume[i]] + value[i];
			}
		}
	}

	return record[maxvolume];
}


//部分背包问题，贪心算法，其中Goods第一列是物品重量，第二列是物品价值，Goods已经按照（物品价值/物品重量）进行从高到底排序

int PartBagProblem(int Goods[][2],int length,int maxvolume)
{
	int i;
	int maxvalue = 0;
	for(i = 0;i < length;i++)
	{
		//如果是重量小于可以剩余的容量，则全部要了
		if(Goods[i][0] < maxvolume)
		{
			maxvalue += Goods[i][1];
			maxvolume -=Goods[i][0];
		}
		else
			break;
	}

	if(maxvolume != 0)
	{
		maxvalue += (maxvolume * Goods[i][1])/ Goods[i][0] ;
	}

	return maxvalue;
}

int main()
{
	int volume[] = {12,16,24,7,29,32,5,43,31,1};
	int value[] = {11,16,15,9,24,25,3,32,41,7};
	int length = 10;
	int record[106] = {0};
	cout<<"the max value is "<<BagProblem(volume,value,length,105,record);

	int Goods[][2] = {{10,60},{20,100},{30,120}};

	cout<<PartBagProblem(Goods,3,50);
	return 0;
}