JZOJ 1331. 超级教主

Description

　　LHX教主很能跳，因为Orz他的人太多了。教主跳需要消耗能量，每跳1米就会消耗1点能量，如果教主有很多能量就能跳很高。
　　教主为了收集能量，来到了一个神秘的地方，这个地方凡人是进不来的。在这里，教主的正上方每100米处就有一个能量球（也就是这些能量球位于海拔100，200，300……米处），每个能量球所能提供的能量是不同的，一共有N个能量球（也就是最后一个能量球在N×100米处）。教主为了想收集能量，想跳着吃完所有的能量球。教主可以自由控制他每次跳的高度，接着他跳起把这个高度以下的能量球都吃了，他便能获得能量球内的能量，接着吃到的能量球消失。教主不会轻功，教主不会二段跳，所以教主不能因新吃到的能量而变化此次跳跃的高度。并且教主还是生活在地球上的，所以教主每次跳完都会掉下来。
　　问教主若要吃完所有的能量球，最多还能保留多少能量。

Input

　　输入文件的第1行包含两个正整数N，M，表示了能量球的个数和LHX教主的初始能量。
　　第2行包含N个非负整数，从左到右第I个数字依次从下向上描述了位于I×100米位置能量球包含的能量，整数之间用空格隔开。

Output

　　输出文件仅包括一个非负整数，为教主吃完所有能量球后最多保留的能量。

Sample Input

3 200
200 200 200

Sample Output

400

Data Constraint

Hint

【样例说明】
　　第1次跳100米，得到200能量，消耗100能量，所以落地后拥有300能量。
　　第2次跳300米，吃到剩下的第3棵能量球，消耗拥有的300能量，得到400能量。
　　若第1次跳200米，第2次跳300米，最后剩余300能量。

【数据规模】
　　对于10%的数据，有N≤10；
　　对于20%的数据，有N≤100；
　　对于40%的数据，有N≤1000；
　　对于70%的数据，有N≤100000；
　　对于100%的数据，有N≤2000000。
　　保证对于所有数据，教主都能吃到所有的能量球，并且能量球包含的能量之和不超过2^31-1。

分析

第1次跳100米，得到200能量，消耗100能量，所以落地后拥有300能量。
第2次跳300米，吃到剩下的第3棵能量球，消耗拥有的300能量，得到400能量。
若第1次跳200米，第2次跳300米，最后剩余300能量。
题意：略
思路： DP + 单调队列
数据规模是2000000， 只能用一维DP。
dp[i] 表示 吃完前i个， 剩下最大的能量.
先想个 O(N^2)的。
dp[i] = max(dp[i], dp[j] + sum[i] - sum[j] - i * 100);
化简为 dp[i] = max(dp[i], dp[j] - sum[j]) + sum[i] - i * 100;
因为每次都是找 Max(dp[j] - sum[j]); 而且要花费N次。 但是， i, i + 1 找的区间只是错开一位。
所以可以用队列优化。维护一个单调递减队列。

代码

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <complex>
#include <cstdio>
#include <queue>
#include <cmath>
#include <map>
#include <set>

#define N 2000050 
#define INF 0x7fffffff
#define sqr(x) ((x) * (x))
#define pi acos(-1)

int read()
{
    int x = 0, f = 1;
    char ch = getchar();
    while (ch < '0' || ch > '9'){if (ch == '-') f = -1; ch = getchar();}
    while (ch >= '0' && ch <= '9')  {x = x * 10 + ch - '0'; ch = getchar();}
    return x * f;
}

int f[N], sum[N];

int Q[N];
int head, tail;

int main()
{
    int n = read(), m = read();
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        int x = read();
        sum[i] = sum[i - 1] + x;
    }
    Q[tail++] = 0;
    f[0] = m;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
    {
        while (head < tail && f[Q[head]] < i * 100)
            head++;
        int now = Q[head];
        if (f[now] >= i * 100)
            f[i] = std::max(f[i], f[now] + (sum[i] - sum[now]) - i * 100);
        while (head < tail && f[i] - sum[i] > f[Q[tail - 1]] - sum[Q[tail - 1]])
            tail--;
        Q[tail++] = i;
    }
    printf("%d\n",f[n]);
}