Google Kick Start 2018 A轮题解

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A.Even Digits

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题目大意

題目大意是給定一个数，每次只能加一或是减一，用最少的次数将其变成一个每位数都是偶数的数，求这个次数是多少

解法

小数据集可以暴力求解，尝试加和减两个方向，直至有一个方向达到要求

考虑一个数中存在为奇数的位，显然对结果影响最大的是从高到低第一个奇数，考虑将其变成偶数

• 若减一，则希望其后的数均为8，这样变化后的结果离原来的数最近。（对于一个十进制数，按位减，需要考虑借位，不过最小的奇数是1，这里不用考虑）
• 若加一，则希望其后的数均为0，这样变化后的结果离原来的数最近。这里需要考虑9+1需要进位的情况
  • 若第一个奇数为9，由于需要所有位均为偶数，9+1需要向前一位进2，在这种情况，考虑减的方向能得到的结果更小，可以直接忽略
  • 若第一个奇数不为9，则加一，其后的数均变为0

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B.Lucky Dip

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题目大意

一个人以等概率抽取n个物品中的一个，每个物品的价值不一样，最终他只能拿走一个物品，若抽取后不满意，可以放回再次以等概率抽取n个物品，最多放回k次。求这个人能得到的最大期望回报

解法

• 若k=0，只能抽一次，最大期望回报就是n个物品的价值平均，设为$dp[0]$
• 若k=1，第一次抽取结束后：
  • 若抽到的物品价值$v_i\ge dp[0]$，显然无需放回，因为放回后，总的期望回报会减小
  • 若抽到的物品价值$v_i<dp[0]$，希望放回，再次抽取的期望回报是$dp[0]$
    则总的期望回报为$dp[1]=\sum max(v_i,dp[0])/n$
• ……

从而得到递归表达式：$$dp[k]=\sum max(v_i,dp[k-1])/n$$

可以将物品按价值排序，每次进行二分查找，最后算法时间复杂度为$O((N+K)logN).$
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C.Scrmabled Words

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题目大意

给定一个长字符串（长度为N）和一个字典（字典中的元素各不相同，大小为L），计算字典中有多少元素在长字符串中出现（字典中每个元素仅计算一次）。判断字典中的词在字符串中出现：该词和字符串的一个子串相同，相同需要满足三个条件：

• 词和子串的首尾字符相同
• 字典中的词和子串由相同的字符构成

解法

问题的关键在于如何判断两个字符串由相同的字符构成，一个高效的做法是统计字符串中字符出现频率，由于问题中的字符串一定由小写字母组成，所以一个字符串的信息可以由26个int值来表示。数组的比较麻烦，可以利用hash函数将26个int值hash成一个数字，这样问题就变成了比较两个数是否相同。

有了上述过程，一个直观的求解方式为：对于每一个字典中的词，设长度为w，遍历一次长字符串中所有长度为w的子串，所用时间为O(N) time（词的长度通常远小于N，可以忽略; 子串遍历过程是每次向右移一位，所以下一个子串的词频统计信息可以由上一个子串在常数时间得到，hash的过程同样是常数时间）。由于字典中有L个词，所以遍历过程是O(NL) time的。对于字典中所有词求hash的过程是O(L) time。所以该算法的时间复杂度为O(NL) + O(L)=O(NL) time。

注意上述过程中会出现冗余过程：对于字典中长度相同的两个不同词，长字符串遍历过程中的子串是相同的。基于这样的观察，可以将长度相同的词的遍历过程合并到一起。设字典中词有P种不同的长度，则上述算法可以优化到O(NP) time.

这样对于P，可以求出一个准确的上界，注意题目要求：

• 字典中的每个词长度$\in [2,10^5]$
• 字典中所有词的长度之和不超过$10^5$，设为M.

设字典中词最长为X，则使得P最大的，字典中词的长度分布为：$1,2,3,4,\cdots ,X$, 其和不超过$10^5$, 即$(1+X)X/2=M\le 10^5$，可以得到$X\le \sqrt{M}$，此时P最大，为$P=X\le \sqrt{M}$。

所以最终算法时间复杂度为$O(N\sqrt{M})$ time.

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