38、特征选择、处理与学习：提升机器学习性能的关键

特征选择、处理与学习：提升机器学习性能的关键

1. 特征选择

1.1 稀疏诱导范数

在特征选择中，我们常常需要在有限的特征预算下最小化经验风险。这个问题可以表示为：
[
\min_{w} LS(w) \text{ s.t. } |w|_0 \leq k
]
其中，(|w|_0 = |{i : w_i \neq 0}|)，即非零元素的数量。这意味着我们希望 (w) 是稀疏的，这样只需要测量与 (w) 中非零元素对应的特征。

然而，求解这个优化问题在计算上是困难的。一种可能的放松方法是用 (\ell_1) 范数 (|w| 1 = \sum {i=1}^{d} |w_i|) 代替非凸函数 (|w| 0)，并求解以下问题：
[
\min {w} LS(w) \text{ s.t. } |w|_1 \leq k_1
]
其中 (k_1) 是一个参数。由于 (\ell_1) 范数是凸函数，只要损失函数是凸的，这个问题就可以有效地求解。

另一个相关问题是最小化 (LS(w)) 与 (\ell_1) 范数正则化项的和：
[
\min_{w} \left( LS(w) + \lambda |w|_1 \right)
]
其中 (\lambda) 是正则化参数。对于任何 (k_1)，都存在一个 (\lambda) 使得上述两个问题的解相同，因此它们在某种意义上是等价的。

(\ell_1) 正则化通常会导致稀疏解。例如，考虑简单的优化问题：
[
\min_{w \in \mat