51、二项式系数与数论计算工具

二项式系数与数论计算工具

1. 二项式系数基础

1.1 二项式系数的定义

两个项的和被称为二项式表达式，二项式表达式的幂在数论和整个数学领域都有广泛应用。对于非负整数 (m) 和 (k)（(k \leq m)），二项式系数 (\binom{m}{k}) 定义为：
(\binom{m}{k} = \frac{m!}{k!(m - k)!})
当 (k) 和 (m) 为正整数且 (k > m) 时，定义 (\binom{m}{k} = 0)。在计算 (\binom{m}{k}) 时，会有很多项可以约去，例如：
(\binom{m}{k} = \frac{m!}{k!(m - k)!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (m - k)(m - k + 1) \cdots (m - 1)m}{k! \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (m - k)} = \frac{(m - k + 1) \cdots (m - 1)m}{k!})
例如，计算 (\binom{7}{3})：
(\binom{7}{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{5 \cdot 6 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3} = 35)

1.2 二项式系数的性质

• 性质一 ：对于