40、小数分数与连分数的深入解析

小数分数与连分数的深入解析

1. 有限连分数的基础概念

1.1 连分数的定义与表示

连分数是一种特殊的数学表达式。有限连分数的形式为 (a_0 + \frac{1}{a_1 + \frac{1}{a_2 + \cdots + \frac{1}{a_{n - 1} + \frac{1}{a_n}}}})，其中 (a_0, a_1, a_2, \cdots, a_n) 为实数，且 (a_1, a_2, \cdots, a_n) 为正数。若这些数均为整数，则称该连分数为简单连分数。为了简化书写，我们用 ([a_0; a_1, a_2, \cdots, a_n]) 来表示有限连分数。

1.2 连分数与有理数的关系

• 有限简单连分数表示有理数 ：每一个有限简单连分数都代表一个有理数。我们可以通过数学归纳法来证明这一点。当 (n = 1) 时，([a_0; a_1] = a_0 + \frac{1}{a_1} = \frac{a_0a_1 + 1}{a_1})，显然是有理数。假设对于正整数 (k)，当 (a_0, a_1, \cdots, a_k) 为整数且 (a_1, \cdots, a_k) 为正数时，简单连分数 ([a_0; a_1, a_2, \cdots, a_k]) 是有理数。那么对于 (a_0, a_1, \cdots, a_{k + 1})（同样满足上述条件），([a_0; a_1, \cdots, a_{k + 1}] = a_0 + \frac{1}{[a_1; a_2, \cdots, a_k, a_{k + 1}]})，由归纳假设可知 ([a_1; a_2, \cdots, a_k, a_{