37、二次剩余与伪素数相关知识解析

二次剩余与伪素数相关知识解析

1. 二次剩余相关问题

在二次剩余的研究中，有一些有趣的问题值得探讨。例如，证明 (A \equiv1) 或 (-1\pmod {pq}) 当且仅当 (p \equiv q \equiv1\pmod {4})。可以通过以下步骤来理解：
- 首先，通过将 (R) 中乘积为 (1) 或 (-1) 的元素配对，证明 (A \equiv\pm \prod_{a\in U} a \pmod {pq})，其中 (U = {a \in R | a^2 \equiv\pm1\pmod {pq}})。
- 然后，考虑同余式 (a^2 \equiv1\pmod {pq}) 和 (a^2 \equiv -1\pmod {pq}) 的解。

另外，从相关结论可以推断出 ((-1)^{\frac{q - 1}{2}} \left(\frac{q}{p}\right) = (-1)^{\frac{p - 1}{2}} \left(\frac{p}{q}\right)) 当且仅当 (p \equiv q \equiv1\pmod {4})，进而推导出二次互反律。

2. 雅可比符号

雅可比符号是由德国数学家卡尔·雅可比引入的，它是勒让德符号的推广。雅可比符号具有与二次互反律相同的互反律，并且适用于所有互质的奇数对。

2.1 雅可比符号的定义

设 (n) 是一个奇正整数，其素因数分解为 (n = p_1^{t_1} p_2^{t_2} \cdots p_m^{t_m})，(a) 是一个整数。则雅可比符号 (\left(\frac{a}{n}\right)) 定义为：
(\left(\fra