35、二次剩余：数论中的重要概念与应用

二次剩余：数论中的重要概念与应用

1. 引言

在数论的研究中，一个有趣的问题是：对于一个奇素数 (p) 和整数 (a)，何时 (a) 是模 (p) 的完全平方数？围绕这个问题，众多伟大的数论学家如欧拉、勒让德和高斯进行了深入研究，推动了现代数论的发展。本文将探讨二次剩余的相关概念、性质以及应用。

2. 二次剩余与非剩余的定义

2.1 定义

若 (m) 是正整数，当 ((a, m) = 1) 且同余式 (x^2 \equiv a \pmod{m}) 有解时，称整数 (a) 是 (m) 的二次剩余；若同余式 (x^2 \equiv a \pmod{m}) 无解，则称 (a) 是 (m) 的二次非剩余。

2.2 示例

以 (m = 11) 为例，计算 (1) 到 (10) 的平方模 (11) 的结果：
- (1^2 \equiv 10^2 \equiv 1 \pmod{11})
- (2^2 \equiv 9^2 \equiv 4 \pmod{11})
- (3^2 \equiv 8^2 \equiv 9 \pmod{11})
- (4^2 \equiv 7^2 \equiv 5 \pmod{11})
- (5^2 \equiv 6^2 \equiv 3 \pmod{11})

由此可知，(11) 的二次剩余为 (1, 3, 4, 5, 9)；二次非剩余为 (2, 6, 7, 8, 10)。

2.3 性质

当 (p) 为奇素数时，在 (1) 到 (p - 1) 这些整数中，二次剩余和二次非剩余的数量相等，