31、离散对数与指标算术详解

离散对数与指标算术详解

1. 离散对数的基本概念

离散对数在数论和密码学领域有着重要的应用。给定一个正整数 $m$ 及其原根 $r$，若整数 $a$ 与 $m$ 互质，那么存在唯一的整数 $x$（$1\leq x\leq\varphi(m)$），使得 $r^x\equiv a\pmod{m}$。这里的 $x$ 被称为 $a$ 以 $r$ 为底模 $m$ 的指标（或离散对数），记为 $\text{ind}_r a$。

例如，当 $m = 7$ 时，$3$ 是模 $7$ 的原根，因为 $3^1\equiv3\pmod{7}$，$3^2\equiv2\pmod{7}$，$3^3\equiv6\pmod{7}$，$3^4\equiv4\pmod{7}$，$3^5\equiv5\pmod{7}$，$3^6\equiv1\pmod{7}$，所以有：
| $a$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| $\text{ind}_3 a$ | 6 | 2 | 1 | 4 | 5 | 3 |

若换用模 $7$ 的另一个原根 $5$，则会得到不同的指标集合：
| $a$ | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
| — | — | — | — | — | — | — |
| $\text{ind}_5 a$ | 6 | 4 | 5 | 2 | 1 | 3 |

2. 指标的性质

指标具有一些类似于对数的性质，但等式被模 $\varphi(m)$ 的同余式所取代。下面是几个重要的性质：
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