17、同余的应用与Pollard Rho分解法

同余的应用与Pollard Rho分解法

一、同余相关问题

1.1 n×n 方阵填充问题

将 (n^2) 个整数 (0, 1, \cdots, n^2 - 1) 放入 (n×n) 方阵的 (n^2) 个位置，且每个位置仅放一个整数。若整数 (k) 放在第 (i) 行第 (j) 列，满足以下同余式：
(i \equiv a + ck + e[k/n] \pmod{n})
(j \equiv b + dk + f [k/n] \pmod{n})
其中 (1\leq i \leq n)，(1\leq j \leq n)，(a, b, c, d, e, f) 为整数，并且 ((cf - de, n) = 1)。

1.2 幻方问题

当 ((c, n) = (d, n) = (e, n) = (f, n) = 1) 时，上述放置方法可生成幻方。

1.3 魔鬼方阵问题

对于 (n×n) 方阵，正对角线和反对角线分别由满足 (i + j \equiv k \pmod{n}) 和 (i - j \equiv k \pmod{n}) 的位置 ((i, j)) 上的整数组成（(k) 为给定整数）。若正、反对角线上整数之和始终相同，则该方阵为魔鬼方阵。当 ((c + d, n) = (c - d, n) = (e + f, n) = (e - f, n) = 1) 时，上述放置方法可生成魔鬼方阵。

1.4 计算与探索

• 生成 (4×4)、(5×5) 和 (6×6) 幻方。

1.5 编程项目