14、同余理论：概念、性质与运算

同余理论：概念、性质与运算

一、同余的基本概念

同余的概念是由伟大的德国数学家高斯发明的，它让我们能像处理等式一样处理整除关系。在引入同余之前，整除关系的表示符号既麻烦又难用，而同余符号的引入加速了数论的发展。

1.1 同余的定义

设 (m) 是正整数，若 (a) 和 (b) 是整数，当 (m) 能整除 (a - b) 时，称 (a) 与 (b) 模 (m) 同余，记作 (a \equiv b \pmod{m})；若 (m) 不能整除 (a - b)，则称 (a) 与 (b) 模 (m) 不同余，记作 (a \not\equiv b \pmod{m})，其中 (m) 称为同余的模。

例如：
- (22 \equiv 4 \pmod{9})，因为 (9) 能整除 (22 - 4 = 18)。
- (3 \equiv -6 \pmod{9}) 和 (200 \equiv 2 \pmod{9}) 也成立。
- 而 (13 \not\equiv 5 \pmod{9})，因为 (9) 不能整除 (13 - 5 = 8)。

1.2 同余在生活中的应用

同余在日常生活中很常见，比如：
- 时钟的小时数按模 (12) 或 (24) 运作，分钟和秒数按模 (60) 运作。
- 日历中，星期按模 (7) 计算，月份按模 (12) 计算。
- 公用事业仪表常按模 (1000) 运行，汽车里程表通常按模 (100,000) 工作。

1.3 同余与等式的转换

定理 5.1 表明：若 (a) 和 (b) 是整数，则 (a \equiv b