10、质数：数学世界的神秘基石

质数：数学世界的神秘基石

1. 质数的基本定义

质数是数论中的核心概念。一个大于 1 的整数，如果除了 1 和它自身外，不能被其他正整数整除，那么这个数就被称为质数。例如，2、3、5、13、101 和 163 都是质数。而大于 1 且不是质数的整数则被称为合数，像 4（2×2）、8（4×2）、33（3×11）、111（3×37）和 1001（7×11×13）都是合数。质数是整数乘法的基本构建块，每个正整数都可以唯一地表示为质数的乘积。

2. 质数的无限性

• 引理证明 ：为了证明质数的无限性，首先需要证明一个引理：每个大于 1 的整数都有一个质因数。采用反证法，假设存在大于 1 的正整数没有质因数，根据良序性，存在最小的这样的正整数 n。因为 n 不是质数，所以可以写成 n = ab（1 < a < n，1 < b < n），又因为 a < n，所以 a 有质因数，根据定理，这个质因数也是 n 的质因数，这与 n 没有质因数矛盾，所以每个大于 1 的正整数都至少有一个质因数。
• 欧几里得证明 ：假设质数是有限的，设为 p1, p2, …, pn，构造整数 Qn = p1p2…pn + 1。由引理可知，Qn 有一个质因数 q。若 q 是已列出的质数之一，那么 q 能整除 Qn - p1p2…pn = 1，但没有质数能整除 1，所以 q 是未列出的质数，这就证明了质数是无限的。不过这个证明是非构造性的，因为 Qn 不一定是质数。
• Saidak 证明 ：选择一个大于 1 的正整数 n1