4、斐波那契数：数学世界的奇妙序列

斐波那契数：数学世界的奇妙序列

1. 斐波那契数的起源与定义

斐波那契在1202年提出了一个关于兔子繁殖的问题：假设一对幼兔（一公一母）被放在一个岛上，兔子两个月大时开始繁殖，此后每对兔子每月都会生出一对新兔子，那么n个月后岛上会有多少对兔子呢？

设(f_n)为n个月后兔子的对数。第一个月只有最初的一对兔子，所以(f_1 = 1)；第二个月这对兔子还未繁殖，所以(f_2 = 1)。要计算n个月后的兔子对数，需要将前一个月岛上的兔子对数(f_{n - 1})与新生兔子对数相加，而新生兔子对数等于(f_{n - 2})（因为新生兔子来自至少两个月大的兔子对）。由此得到斐波那契数列的递归定义：
- (f_1 = 1)
- (f_2 = 1)
- 当(n \geq 3)时，(f_n = f_{n - 1} + f_{n - 2})

下面计算前十个斐波那契数：
| (n) | (f_n) | 计算过程 |
| — | — | — |
| 3 | 2 | (f_3 = f_2 + f_1 = 1 + 1 = 2) |
| 4 | 3 | (f_4 = f_3 + f_2 = 2 + 1 = 3) |
| 5 | 5 | (f_5 = f_4 + f_3 = 3 + 2 = 5) |
| 6 | 8 | (f_6 = f_5 + f_4 = 5 + 3 = 8) |
| 7 | 13 | (f_7 = f_6 + f_5 = 8 + 5 = 13) |
| 8 | 21 | (f_8 = f_7 + f_6 = 13 + 8 = 21) |
| 9 | 34 | (f_9 =