14、随机自组装技术：从基础到创新应用

随机自组装技术：从基础到创新应用

在自组装领域，以往的技术在构建特定形状时存在一些局限性，比如在进行二进制加法和除法运算时需要子图块集，导致隐藏常数较大。而现在，我们有了新的突破，能够构建简单的图块集，无需进行复杂的二进制加法和除法运算，并且可以高概率地自组装出尺寸接近目标的正方形和矩形。

1. 图块组装模型基础

图块模型采用正方形的王图块，每个图块的四个边都附着有来自字母表Σ的胶水/符号。一个自组装系统由五元组⟨T, s, τ, G, P⟩来表征：
- T ：图块集，是Σ⁴的子集，包含组装过程中使用的独特图块。
- s ：种子图块，固定在特定位置以启动组装过程。
- τ ：正整数，表示模型的温度，这里我们只考虑温度τ = 2的自组装模型。
- G ：粘结强度函数，定义如下：
[
G(x, y) =
\begin{cases}
0 & \text{如果 } (x \neq y) \vee (x = \epsilon \vee y = \epsilon) \
k \in {1, 2, \ldots, \tau} & \text{如果 } x = y \neq \epsilon
\end{cases}
]
- P ：与图块集T的一个子集相关的概率分布。

理论上，自组装过程发生在一个无限的二维整数网格上。我们定义一个空图块φ := (ϵ, ϵ, ϵ, ϵ)。自组装过