36、平方和集合的特征序列作为细胞自动机的列

平方和集合的特征序列作为细胞自动机的列

1. 引言

对于所有整数 (k \geq 1)，我们定义：
[
s_k(n) =
\begin{cases}
1, & \text{如果 } n \text{ 是 } k \text{ 个平方数的和} \
0, & \text{否则}
\end{cases}
]
- (s_1) 是平方数的特征序列，即 (s_1(n) = 1) 当且仅当存在 (m \in \mathbb{Z}) 使得 (n = m^2)。
- (s_2(n)) 的表达式为：
[
s_2(n) =
\begin{cases}
1, & \text{如果 } n \text{ 的所有模 } 4 \text{ 余 } 3 \text{ 的质因数的幂次为偶数} \
0, & \text{否则}
\end{cases}
]
其对应的二进制序列 ((s_2(n)) {n \geq 0} = 1, 1, 1, 0, 1, 1, 0, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0, 0, 1, \cdots)。
- (s_3(n)) 的表达式为：
[
s_3(n) =
\begin{cases}
0, & \text{如果 } n = 4^a(8m + 7) \text{，其中 } a, m \text{ 为非负整数} \
1, & \text{否则}
\end{cases}
]
其对应的二进制序列 ((s_3(n)