35、子词普遍性与循环普遍性指标的计算方法

子词普遍性与循环普遍性指标的计算方法

在处理字符串相关问题时，子词普遍性和循环普遍性指标是非常重要的概念。本文将详细介绍如何通过一些特定的函数和算法来计算这些指标，以及如何利用子词普遍性签名来高效处理压缩后的字符串。

1. 子词普遍性与循环普遍性指标的基础概念

• 子词普遍性指标 ι(u) ：它描述了一个单词 (u) 的某种子词结构特性。在研究过程中，我们通过一些跳跃函数来深入分析这个指标。例如，对于两个单词 (u) 和 (v)，有如下关系：设 (n = ι(u))，(n’ = ι(v))，对于 (w = u v) 且 (L = |u| + |v|)，有 (\alpha_{n + 1}(0) > |u|) 和 (\beta_{n’ + 1}(L) < |u|)，由此可得 (ι(w) < n + n’ + 2)。另外，对于 (u u^R)，有 (ι(u u^R) = 2ι(u))。
• 循环普遍性指标 ζ(u) ：为了研究这个指标，我们考虑将单词 (u) 重复拼接得到 (w = u u)，此时 (L = 2\ell)。通过这种方式，我们可以用 (\alpha) 函数来刻画 (\zeta(u))，具体表达式为：
  • (\zeta(u) = \max_{0\leq i < \ell}\max{n | \alpha_n(i) \leq i + \ell})
  • 或者利用 (u^{\sim\ell}= u^{\sim0})，表示为 (\zeta(u) = \max_{0 < i \leq \ell}\max{n | \alp