25、k - 类波那契态射不动点的字符串吸引子

k - 类波那契态射不动点的字符串吸引子

1. 态射与感兴趣的不动点

态射是一个映射 $f : A^ \to B^ $，其中 $A$ 和 $B$ 是字母表，并且对于所有的 $x, y \in A^ $，都有 $f(xy) = f(x)f(y)$。如果对于某个 $x \in A^ $，有 $f(a) = ax$ 且对于所有 $n \geq 0$，$f^n(x) \neq \varepsilon$，则称态射 $f$ 在字母 $a \in A$ 上是可延长的。

我们考虑一类特定的态射，定义如下：设 $k \geq 2$ 为整数，$c_0, \ldots, c_{k - 1} \in \mathbb{N}$ 是 $k$ 个参数，通常用一个字 $c = c_0 \cdots c_{k - 1} \in \mathbb{N}^k$ 来概括。态射 $\mu_c : {0, \ldots, k - 1}^ \to {0, \ldots, k - 1}^ $ 定义为：对于所有 $i \in {0, \ldots, k - 2}$，$\mu_c(i) = 0^{c_i} \cdot (i + 1)$，且 $\mu_c(k - 1) = 0^{c_{k - 1}}$。对于所有 $n \geq 0$，定义 $u_{c,n} = \mu_c^n(0)$ 和 $U_{c,n} = |u_{c,n}|$。当上下文明确时，通常会省略定义中的下标 $c$。

例如，当 $c = 1^k$ 时，我们得到 $k$ - 波那契态射和字。对于 $k = 3$ 和 $c = 102$，对应的态射 $\mu_c : 0 \to 01, 1 \to 2, 2 \t