24、最小和最大块回文分解相关研究

最小和最大块回文分解相关研究

在字符串处理领域，块回文分解是一个有趣且重要的研究方向。下面我们将深入探讨最大块回文分解的期望宽度、最小块回文分解以及最小和最大块回文分解相等的情况，同时也会研究具有唯一边界的字符串相关内容。

最大块回文分解的期望宽度

对于长度为 $n$ 且字母表大小为 $k$ 的字符串，其最大块回文分解的期望宽度 $E_{n,k}$ 是有界的。根据期望值的定义，$E_{n,k}$ 可表示为：
$E_{n,k} = \frac{1}{k^n} \sum_{i = 1}^{n} i \cdot LBP_k(n, i)$

当 $k$ 增大时，$\lim_{n \to \infty} E_{n,k}$ 的行为如下表所示：
| $k$ | $\approx E_k$ |
| — | — |
| 2 | 6.4686 |
| 3 | 2.5908 |
| 4 | 1.9080 |
| 5 | 1.6314 |
| 6 | 1.4827 |
| 7 | 1.3902 |
| 8 | 1.3272 |
| 9 | 1.2817 |
| 10 | 1.2472 |
|… |… |
| 100 | 1.0204 |

同时，有引理表明，对于整数 $k \geq 2$ 和 $n \geq t \geq 1$，有 $\frac{LBP_k(n, t)}{k^n} \leq \frac{1}{k^{t/2 - 1}}$。基于此引理和期望值的定义，可证明对于所有 $k \geq 2$，极限 $E_k = \lim_{n \to \inf