12、循环与频率：无限单词中的秩序量化

循环与频率：无限单词中的秩序量化

在数学和计算机科学的研究中，无限单词的性质一直是一个重要的研究领域。无限单词是指由有限字母表中的字母组成的无限序列，它们在许多领域都有广泛的应用，如符号动力学、组合数学和编码理论等。本文将探讨无限单词中的两个重要概念：频率和循环性，并研究它们之间的关系。

1. 引言

在无限单词的研究中，有几个自然的组合度量可以用来描述单词的无序程度。这些度量在单词组合学、符号动力学和非周期序的背景下同时出现。非周期序是准晶体的数学形式化，涉及到不同的数学对象，如瓷砖、切割投影集、Delone点集或有限字母表上的无限单词。对于单词，这些概念涉及到因子；对于瓷砖和点集，则涉及到补丁或模式。

具体来说，给定一个取值于有限字母表的无限单词 $x$，有三个重要的函数来描述其性质：
- 因子复杂度 $p_x$ ：计算无限单词中给定大小的因子的数量。
- 循环函数 $R_x$ ：测量因子连续出现之间的间隔，即它们多久会再次出现。在瓷砖设置中，它也被称为重复性。
- 频率 $\mu_x(w)$ ：对于因子 $w$，其频率定义为当 $n$ 趋向于无穷大时，$w$ 在 $u_0u_1 \cdots u_{n - 1}$ 中出现的次数除以 $n$ 的极限（如果存在）。如果无限单词 $x$ 对所有因子都有频率，那么我们可以考虑给定长度因子的最小频率函数 $e_x$。

M. Boshernitzan 强调了 $n e_x(n)$ 这个量的相关性。他引入了所谓的 $n e_n$ 条件：
- $\limsup n e_x